直接法与间法.docVIP

直 接 证 明 出题人：郑志博 知识清单： 1、直接证明是指①________，常用的直接证明方法有②________和③________. 2、综合法是指④____ ___. 3、分析法是指⑤______ __. 4、综合法是一种⑥________的证明方法，推证过程是⑦________?…?⑧________，分析法是一种⑨________的证明方法，推证过程是⑩________?…??________.它们的逻辑依据是?________的演绎推理法． 5、综合法 （1）综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知推导求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题．综合法有如顺流而下，直奔终点．若P表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可以用以下的框图表示： 、 （2）综合法的特点 ①从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． ②用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹． ③由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为： 故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明不等式等问题的“瓶颈”． 6、分析法 （1）分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，由求证探求已知，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到一个明显成立的条件．分析法有如逆流而上，寻找源头． 若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示． （2）分析法的特点 ①分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是逐步寻找结论成立的充分条件． ②由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述． 7、分析法与综合法的综合应用 分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路；综合法解题条理清晰，宜于表述．实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 在实际解题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立． 注意：(1)对于较为简单的命题的证明，如果没有特别要求，一般用分析法探路，然后用综合法证明． (2)对于并列条件较多且与待证结论的关系比较隐蔽的命题的证明，往往需要综合应用分析法与综合法. 典型例题 题型一 用综合法证明数学命题 例1、已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)3. 题型二 用分析法证明数学命题 例2、设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I4S. 变式探索：　 例3、△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的对边分别是a，b，c，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. 题型三 综合法和分析法的应用 例4、设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋)为偶函数． 变式探索：　 例5、（1）已知n∈N，且n1，求证：log (n＋1)log (n＋2)． 课后巩固 一、选择题： 1、设a＝eq \r(3)－eq \r(2)，b＝eq \r(6)－eq \r(5)，c＝eq \r(7)－eq \r(6)，则a，b，c的大小顺序是(　　) A．abc　 B．bca C．cab D．acb 2、设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．1≤ab≤eq \f(a2＋b2,2) B．ab1eq \f(a2＋b2,2) C．abeq \f(a2＋b2,2)1 D.eq \f(a2＋b2,2)ab1 3、设a0，b0，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是(　　) A．aabbabba B．aabb≥abba C．aabbabba D．aabb≤abba 4、在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是(　　) A．a2b2＋c2 B