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浙江省200年1月高等教育自学考试近世代数试题
浙江省2010年1月高等教育自学考试 近世代数试题 课程代码:10025 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.以下关系中,哪个不是所给集合元间的等价关系?( ) A.在有理数集Q中关系~:a~ba-b∈Z B.在复数集C中关系~:a~b|a|=|b| C.在实数集R中关系~:a~ba≤b D.在实数集R中关系~:a~ba=b 2.设A=Z,D=Z+,σ∶n|→ 则σ是Z到Z+的( ) A.单射 B.满射 C.一一映射 D.不是映射 3.在实数集R中定义代数运算aob=a+b+ab,则这个代数运算( ) A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.非零有理数的全体Q*对普通数的加法 B.非零有理数的全体Q*对普通数的减法 C.非零有理数的全体Q*对普通数的乘法 D.非零有理数的全体Q*对普通数的除法 5.设R=,那么R关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是 ( ) A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e},则A的子集共有________个. 7.在4次对称群S4中,(143)2(132)-1=________. 8.模12的剩余类加群Z12的生成元有________个. 9.设Z6是模6的剩余类环,则Z6中的零因子是________. 10.模p(素数)的剩余类环Zp的特征为________. 11.剩余类环Z17的可逆元有________个. 12.在高斯整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}中,主理想(1+i)=________. 13.在整环I={所有复数a+b(a,b是整数)}中,1+的相伴元是________. 14.设R是实数域,则 =________. 15.在有理数域Q上的极小多项式是________. 三、解答题(本大题共3小题,第16小题9分,第17、18小题各10分,共29分) 16.找出3次对称群S3的所有子群,这些子群中哪些是S3的不变子群? 17.设群G=Z18子群H=([6]), (1)商群G/H=? (2)商群G/H与怎样的一个群同构? 18.设R=关于矩阵的加法和乘法构成一个环,I=, 证明:I是R的理想,问商环R/I由哪些元素组成? 四、证明题(本大题共3小题,第19、21小题每小题8分,第20小题10分,共26分)19.设R为全体实数组成的加法群,R+表示全体正实数组成的乘法群,则R+与R同构. 20.设M2(Q)是有理数域Q上的二阶矩阵环,证明:M2(Q)只有零理想与单位理想,但不是除环. 21.证明:3-2i是高斯整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}的素元.
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