数学归纳法题.docVIP

§11.5 数学归纳法 (时间：50分钟　满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在 第二步时，正确的证法是 (　　) A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数． 答案：D 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)n(n∈N*，n1)”时，由n＝ k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 (　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k. 答案：C 3．(2011·巢湖联考)对于不等式eq \r(n2＋n)n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如 下： (1)当n＝1时，eq \r(12＋1)1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq \r(k2＋k)k＋1，则当n＝k＋1时，eq \r(?k＋1?2＋?k＋1?)＝eq \r(k2＋3k＋2)eq \r(?k2＋3k＋2?＋?k＋2?)＝eq \r(?k＋2?2)＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 (　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法． 答案：D 4．用数学归纳法证明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开 (　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k2＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可． 答案：A 5．用数学归纳法证明不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)eq \f(13,14)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推 到n＝k＋1时不等式左边 (　　) A．增加了一项eq \f(1,2?k＋1?) B．增加了两项eq \f(1,2k＋1)、eq \f(1,2k＋2) C．增加了B中两项但减少了一项eq \f(1,k＋1) D．以上各种情况均不对 解析：∵n＝k时，左边＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)，n＝k＋1时，左边＝eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,2k) ＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)， ∴增加了两项eq \f(1,2k＋1)、eq \f(1,2k＋2)，少了一项eq \f(1,k＋1). 答案：C 二、填空题(每小题4分，共16分) 6．(2011·淮南调研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____． 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2； ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 7．观察不等式：1eq \f(1,2)，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)1,1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,7)eq \f(3,2)，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,15)2,1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,31)eq \f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*