大工13秋《应用统计》辅导资料十五.doc

应用统计辅导资料十五 主 题：第六章 参数估计1—2节 学习时间：2014年1月6日－1月12日 内 容： 数理统计的基本问题是根据样本提供的信息，对总体的分布及分布的数字特征作出统计推断。统计推断的主要内容分为两大类：一类是统计估计问题，其主要内容是本章将要介绍的参数估计；另一类是假设检验问题。在实际问题中，所研究的总体分布类型常常是已知的，但其中含有一个或几个未知参数。这时，如何从样本估计总体分布中的未知参数就是参数估计问题。另外，在某些问题中，事先并不知道总体分布的形式，而所关心的仅仅是总体的某些数字特征(如总体的期望和方差)，它们同总体分布中的参数有一定关系，因而对数字特征的估计问题也称为参数估计问题。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、理解参数的点估计的概念 2、掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和一致性 3、熟悉运用极大似然估计法进行点估计的方法 基本概念：知识点：（X1，X2，…，Xn）是参数θ的估计量，若E（）=θ，则称是θ的无偏估计量。 有效估计 设（X1，X2，…，Xn）和（X1，…，Xn）都是θ的无偏估计量，若，则称比有效。 一致估计 设（X1，X2，…，Xn）是参数θ的估计量，若对任意0，有，则称为θ的一致估计量。 参数的点估计 定义：设θ是总体X的一个未知参数，用样本X1，X2，…，Xn的某个函数（X1，X2，…，Xn）去估计θ，就称为对θ作点估计。 期望的点估计方法 设总体的均值，则用估计。 方差的点估计方法 设总体的方差，则用样本方差估计。 极大似然估计 1、设X是连续型随机变量，其概率密度函数为， 样本观测值为，则称 2、设X是离散型随机变量，其概率分布为 ， 样本观测值为，则称 3、若似然函数在处取得最大值，则称为的极大似然估计值，相应的统计量称为的极大似然估计量。 4、通常情况下，也称为似然函数，这时，最大似然估计值是似然方程的解。 几个常见分布的极大似然估计量 0-1分布 极大似然估计为 泊松分布 极大似然估计为 正态分布 极大似然估计分别 均匀分布 极大似然估计为 2、典型例题解析 题型1：判断未知参数估计量的无偏性、有效性和一致性 题型2：用极大似然法求未知参数的点估计 例1、设总体，是来自X的样本，则常数为多少 是未知参数的无偏估计。（题型1） 解：欲，注意到诸，故 应满足 例2、设总体，是来自X的一个样本，则当k为多少 是的无偏估计量。（题型1） 解：要使为的无偏估计量，必须有。而 ， 因而。 例3、设是参数的无偏估计量，且有，试证：不是的无偏估计量。（题型1） 证明：因为，而，所以。故不是的无偏估计量。 例4、若是来自总体X的一个样本，，则以下无偏估计最有效的是（ ）（题型1）A、 B、 C、 D、 解：显然，只有的方差最小，所以选D。 例5、设总体X服从指数分布，分布密度为，其中，试求的极大似然估计。（题型2） 解：先求似然函数 解得的极大似然估计。 大连理工大学网络教育学院 第1页 共4页