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第四部分　线性方程组　　 本章讨论线性方程组，对齐次方程组主要是讨论齐次方程组有非零解的充要条件，基础解系的概念，解的性质，以及求基础解系和通解的方法。对非齐次方程组主要讨论何时有解？何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何求通解。　　 　　4.1　齐次线性方程组　　 　　4.1.1　齐次线性方程组有非零解的充分必要条件　　　　齐次线性方程组的一般形式是　　 　　用矩阵也可简写成　　Ax=0　　其中 。　　我们要讨论的问题是：该齐次方程组有非零解的充分必要条件。 　　 令为矩阵A的列向量，则该齐次方程组又可以写成　　，其中　　　　 则齐次方程组有非零解的充分必要条件就是向量组线性相关，用矩阵的秩来描述就是该线性方程组的系数矩阵的秩r（A）n，其中n是未知数的个数。于是有下面的定理　　定理4.1.1　齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）n，其中n是未知数的个数（也是矩阵A的列数）。　　等价的说法是　　齐次线性方程组AX=0只有零解，没有非零解的充分必要条件是r（A）=n。　　推论1　n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式 。　　下面讨论当齐次方程组有非零解时，方程组通解的结构。为此，先讨论齐次方程组解的性质。　　　　4.1.2　齐次线性方程组解的性质　　我们已知齐次方程组AX=0的解是一个n维向量。　　下面要讨论它的所有解组成的集合是什么样的集合。　　因为齐次方程组AX=0必有零解，所以0∈V，故V非空。　　性质1　若都是齐次方程组AX=0的解，则也是齐次方程组AX=0的解。　　证。　　性质2　若是齐次方程组AX=0的解，k是一个数，则也是齐次方程组AX=0的解。　　证　　以上两条性质说明是的一个子空间，所以我们称它为齐次方程组AX=0的解空间。　　如果齐次方程组AX=0只有零解，V=｛0｝，否则，我们希望求出它的所有解的一般表达式，即通解。即写出中所有元素的一般表达式。　　　　4.1.3　齐次线性方程组AX=0的基础解系　　 定义4.1.1　设是齐次线性方程组AX=0的一组解向量。如果它满足：　　（1）线性无关；　　（2）齐次线性方程组AX=0的的任意一个解，都能由它线性表示。　　则称该向量组为齐次线性方程组AX=0的基础解系。　　进一步，要问，对于给定的齐次方程组，满足什么条件时，它有基础解系？基础解系含几个解向量？如何求一个齐次线性方程组的基础解系？如何求出该齐次方程组的通解？看例题　　例1求齐次线性方程组的所有解。　　【答疑编 　　 　　 　 　 　　定理4.1.2 设A是m×n阶矩阵，r（A）=r，则　　（1）当r（A）=r n时齐次方程组AX=0必有基础解系。　　（2）AX=0的基础解系含n-r（A）个解向量，且AX=0的任意n-r（A）个线性无关的解都是它的基础解系（因为齐次方程组含n-r（A）个自由未知数）。　　（3）如果 是AX=0的一个基础解系，则　　为任意数）　　为AX=0的通解。　　例2设 是齐次方程组AX=0的一个基础解系。证明：　　　　也是AX=0的一个基础解系。　　【答疑编 　　 　　 　　 　 　　例3 求 的基础解系和通解。　　【答疑编 　　 　　 　　 　　 　　例4求齐次方程组的通解。 　　【答疑编 　　 　　 　 　　 　　例5 证明：同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相等的秩。　　【答疑编 　　 　　证 设齐次方程组AX=0与BX=0同解。则两个方程组所含未知数的个数必相等，设为n，且两个方程组的解空间必相同，其维数必相同，　　n-r（A）=n-r（B）　　故r（A）=r（B）。命题得证。　　例6 设A是m×n阶的实矩阵，证明: 　　【答疑编 　　 　　 　　 　　例7 设矩阵 和 满足AB=0，证明:r（A）+r（B）≤n　　【答疑编 　 　 　 　　小结：　　1.齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）n （其中n是未知数的个数）。　　2.齐次方程组基础解系的概念，所含解向量的个数，判断向量组是某个齐次方程组基础解系的方法。　　3.求齐次方程组基础解系和通解的方法。　　作业 p116 1,2,3（1）（4）（5）,4,5　　　　　　4.2　非齐次线性方程组　　　　4.2.1　非齐次线性方程组有解的充要条件　　　　非齐次线性方程组的一般形式是　　　　用矩阵也可简写成　　Ax=b　　其中。　　我们要讨论的问