高代丘维声(第二版下)2.docxVIP

习题7.1在K[x]中，如果f(x)=cg(x)，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数有什么关系？在K[x]中，如果f(x)g(x)=c，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数各是多少？在K[x]中，如果f(x)与g(x)的次数都是3，试问：f(x)+g(x)的次数一定是3吗？设R是一个有单位元1（≠0）的环，对于a∈R，如果存在b∈R，使得ab=ba=1，则称a为可逆元（或称a为单位，注意不要与单位元1混淆），称b是a的逆，记作. 证明：K[x]中一个元素f(x)是可逆元当且仅当f(x)是零次多项式。﹡5. 设R是有单位元1（≠0）的环，证明R中的可逆元不可能是零因子。6. 设A=，其中bK,求.7. 设A(K)，并且设A的特征多项式为=…，其中、、…、是两两不同的复数：++…+=n. 证明：对于K中任一非零数k，矩阵kA的特征多项式为=…，由此得出，如果是A的重特征值，则k是kA的重特征值。﹡8. 设A和A的特征多项式同第7题，证明：的特征多项式为=….由此得出，如果是A的重特征值，则是的重特征值。习题 7.2证明整除关系的传递性，即在K[x]中，如果f(x)︱g(x),且g(x)︱h(x)，则f(x)︱h(x).证明本节的命题2，即在K[x]中，如果g(x)︱, i=1,2,…,s, 则对于任意K[x],i=1,2,…,s, 有g(x)︱((x)(x)+(x)+…+(x)(x)).用g(x)除f(x)，求商式与余式. (1)f(x)=-3-2x-1, g(x)=-2x+5； （2）f(x)=+-2x+3, g(x)=3-x+2.设f(x)=-3+x+,g(x)=-3x+1,求g(x)整除f(x)的充分必要条件.用综合除法求一次多项式g(x)除f(x)所得的商式与余式. (1)f(x)=3-5+2x-1,g(x)=x-4;(2)f(x)=5-3x+4, g(x)=x+2.﹡6. 设a，bZ，如果有hZ使得a=hb，则称b整除a，记作b︱a，此时b叫作a的因数（或因子），a叫作b的倍数；否则，称b不能整除a，记作ba，证明：（1）如果a︱b且b︱a（此时称a与b相伴），则a=±b；反之也成立； （2）如果a︱b且b︱c，则a︱c； （3）如果b︱，i=1,2，…，s，则对于任意Z，i=1,2，…，s，有b︱(++…+). (4)如果b︱a,且a≠0，则≤.习题 7.3求f(x)与g(x)的最大公因式，并且把(f(x)，g(x))表示成f(x)与g(x)的一个组合：（1）f(x)=+3--4x-3，g(x)=3+10+2x-3；（2）f(x)=+6-6+6x-7，g(x)=+-7x+5.2. 证明：在K[x]中，如果d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，并且d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.3. 证明：在K[x]中，（f,g）h是fh与gh的一个最大公因式；特别地，若h(x)的首项系数为1，则 （fh,gh）=（f,g）h4. 证明：在K[x]中，如果f(x)，g(x)不全为零，则（=1.5. 证明：在K[x]中，如果f(x)，g(x)不全为零，并且u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)),则（u(x),v(x)）=1.6. 证明：在K[x]中，如果(f,g)=1.那么(fg,f+g)=1.7. 设f(x)，g(x)K[x]，并且a,b,c,dK,使得ad-bc0. 证明：(af+bg,cf+dg)=(f,g).8. 证明：在K[x]中，如果(f(x),g(x))=1,则对任意正整数m,有（f(),g(）=1.9. 证明：K[x]中两个非零多项式f(x)与g(x)不互素的充分必要条件是，存在两个非零多项式u(x),v(x)，使u(x)f(x)=v(x)g(x),deg u(x)deg g(x),deg v(x)deg f(x).10. 设f(x),g(x)K[x]，K[x]中的一个多项式m(x)称为f(x)与g(x)的一个最小公倍式，如果 1）f(x)m(x),g(x)︱m(x); 2)f(x)与g(x)的任一公倍式（即K[x]中既能被f(x)整除，又能被g(x)整除的多项式）都是m(x)的倍式. (1)证明K[x]任意两个多项式都有最小公倍式，并且在相伴的意义下是唯一的；(2)用[f(x),g(x)]表示首项系数是1的那个最小公倍式，证明：如果f(x),g(x)的首项系数都是1，则[f(x)，g(x)]=.11. 设AMn(K),f(x),g(x)K[x].证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，则齐次线性方程组d(A)X=0的解空间等于f(A)X=0的解空间与g(A)X=0的解空间的交