三次样条插值资料.ppt

（２） 仍用方程组进行求解，不过要注意 的不同。由于 和 已知，故可以化简得 由此解得 。 　　将 　代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有 例2.15 已知的函数值如下： x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 在区间?1,5?上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件 解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定 的方程组形如（2.60）所示， 由已知边界条件,有 则得求解 的方程组为 根据给定数据和边界条件算出 与 则得方程组 解得 又 即得S(x)在各子区间上的表达式 ,由式（2.51）知,S(x)在 上的表达式为 代入式(2.50) 将 代入上式化简后得 * 第二章 插值与拟合 总 结 三次样条插值函数的误差估计 三转角算法 三弯矩算法 三次样条插值函数的概念 三次样条插值 三次样条插值 学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。 高次插值出现龙格现象 L-插值（牛顿插值） Hermite插值 分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑 分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到） 三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例： 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。 三次样条插值函数的概念一、背景 数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线. 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。 相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较 Cubic Spline Interpolation Lagrange 定义 2.8 （三次样条函数） 在每一个小区间 上是次数 多项式。 若(1)中三次样条函数 还满足插值条件： 关于剖分 称 为 的三次样条插值函数。 ，即具有连续的一阶，二阶导数。 满足下述条件： 如果函数 (1) 设有对[a,b]的剖分 的一个3次样条函数。 为关于剖分 则称 函数表 （2）设给定 二、样条函数的定义 提出问题： 3次样条插值函数 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？ 问题的提法：给定数据表 构造3次样条函数 ,满足插值条件 … … 构造方法： S(x)应具有如下形式 并且满足条件(2.42)和 (2.43) 分析： 因 上是分段3次多项式，即为 4n个待定系数: 从而S(x)共须4n个独立条件确定 . ①内部条件： S和S′, S’’ 在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而 (2.43)给出了3(n-1) 个条件； (2.43) ②已有条件： 共有 个条件, 要唯一确定 ,还必须附加2个条件 (2.42) 提供了n+1个独立条件; (边界条件)。 ③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是: (a) （简支边界，导致三弯矩关系式, M 关系式）, 特别地, (自然边界,三次自然样条); (b) (固支边界,导致三转角关系式, m关系式). (2.44) (2.45) 第3种边界条件（周期边界条件）： 为周期函数， 此时称 为周期样条函数。 亦是周期函数，周期为 ，即取 要求 注： 一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。 这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间?xi , xi+1?上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。 且