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第二章第二章 显式时间积分显式时间积分
第二章第二章 显式时间积分显式时间积分
如图所示，先考虑简单的单自由度线性弹簧阻尼系统，根据达朗贝尔动力学原理可得：
（2.1 ）
mu +cu + ku = p (t)
为加速度， 为速度，u 为位移， 为外力。
u u p (t)
大家知道，对于该线性问题，可以用解析方法来求解该常微分方程。若为非线性问题，
比如k 为位移u 的函数，方程为：
mu +cu + k (u)u = p (t) （2.2 ）
此时用解析方法一般很难求解，所以应用数值解法来求解，常用的为有限差分法和有限
元法。上述公式具有普遍意义，对于有限元法而言，上述运动方程的矩阵形式为：
M U + CU + KU = P (t) （2.3 ）
P (t)
式中 为节点加速度列阵， 为节点速度列阵， 为位移列阵， 为外力向量列阵，M
U U U
为质量矩阵，C 为阻尼矩阵，K 为刚度矩阵。
求解该运动方程目前有两种方法用的较多，一种是振型叠加法，一种是逐步积分法，对
于复杂问题，一般采用逐步积分法，大体可分为增量法，迭代法和混合法。
隐式的求解方法一般是采用增量迭代法，需要转置换刚度矩阵，通过一系列线性逼近
(Newton-Raphson) 来获得解，对于存在内部接触这样的高度非线性动力学问题往往无法保
证收敛。LS-DYNA 采用显式中心差分法来进行时间积分，在已知0 ，……，t 时间步解的
n
情况下，求解tn+1 时间步的解，运动方程为：
int
M U(tn ) = P (tn ) − F (tn ) + H (tn ) − CU (tn ) （2.4 ）
7
式中P(t) 为外力向量列阵，F int (tn ) 为内力矢量，为单元内力和接触力之和，表达式
为F int (t ) = ∑ B T σ dΩ + F contact ，单元的内力由当前构型的应力场的散度求得，H (t )
n ∫ n n
Ω
为沙漏阻力。
把质量矩阵移到方程的右边，求得t 时刻的加速度为：
n
− 1 [ int ]
U (t ) = M P (t ) − F (t ) + H (t ) − CU (t ) （
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