第十一章 密度函数详解.pptVIP

ch73 非正态公式(1) 例1 (2) 例2 解 查表得 由公式(7) 的置信区间为 (1) 取枢轴量 (2) 枢轴量为 查表得 由公式(10)得方差比 的置信区间为 §2.3 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), 不同样本算得的 ? 的估计值不同，因此除了给出 ? 的点估计外, 还希望根据所给的子样确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求. ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 §2.3 如引例中，要找一个区间,使其包含 ? 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 取 查表得 这说明 即 称随机区间 为未知参数 ? 的置信度为0.95的置信区间. 反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 ? 的真值, 而包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含? 的真值, 反复 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 抽样得到的区间中有95%包含 ? 的真值. 算得 时, 区间的长度为 —— 达到最短. 2. 当置信区间为 问题 2.为何要取 ？ 1. 确定后,置信区间是否唯一？ 与 答复 1. 不唯一. 取 ? = 0.05 设 ? 为待估参数, ? 是一给定的数, ( 0?1). 若能找到统计量 , 使 则称 为 ? 的置信概率为1 - ? 的 置信区间或区间估计. 置信下限 置信上限 置信区间的定义 定义 ? 反映了估计的可靠度, ? 越小, 越可靠. 置信区间的长度 反映了估计精度 ? 越小, 1- ? 越大, 估计的可靠度越高,但 ? 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个. 几点说明 越小, 估计精度越高. 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原则 寻找一个子样的函数 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由? 的点估计出发考虑 ). 例如 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量 取枢轴量 给定置信度 1 ? ? ,定出常数 a , b ,使得 ( 引例中 由 解出 得置信区间 引例中 置信区间常用公式 一. 非正态母体的情形 (大子样) 设母体的期望 与方差 作区间估计. 均未知, 用大子样( )对 取 近似 由 的置信区间 得 例1 从学校新生中随机地选50名,进行田径 项目测试, 由测试成绩得子样均值 子样方差 求全校新生平均田径 成绩的置信区间, 置信概率为95%. 解 由(1)式得 置信下限 置信上限 所求置信区间为 若母体 容量为 的子样中 恰有 个1，试对 作区间估计. 代入(1)式得 (2) 例2 自一大批产品中抽取100个样品, 其中有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间. 解 将 代入(2)式得 注 另一解法见后面附录 (一) 一个正态总体的情形 (1) 方差? 2已知, ? 的置信区间 推导 由 选取枢轴量 正态公式(一) (3) 二. 正态母体的情形 由 确定 解 得 ? 的置信概率为 的置信区间为 (2) 方差? 2未知 , ? 的置信区间 由 确定 故? 的置信区间为 推导 选取枢轴量 公式(4) (3) 当 ? 未知时, 方差? 2 的置信区间 选取 得 ? 2 的置信区间为 ? ? 则由 公式(5) 例3 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 解 (1) 即 正态分布 N( ??? 2), 现从某天的产品中随机 (1) 若? 2=0.06, 求? 的置信区间 (2) 若? 2未知,求 ? 的置信区间 (3) 求方差? 2的置信区间. 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 置信概率 均为0.95 例3 由给定数据算得 由公式 (3) 得 ? 的置信区间为 (2) 取 查表 由给定数据算得 由公式 (5) 得? 2 的置信区间为 (3) 选取枢轴量 查表得 由公式 (4) 得 ? 的置信区间为 为取自母体 N ( ?1? ? 12 ) 的子样, 为取自母体 N ( ?2? ? 22 ) 的子样, 置信概率为 1