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习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
【解】
故所求分布律为
X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:
(1) X的分布律;
(2) X的分布函数并作图;
(3).
【解】
故X的分布律为
X 0 1 2 P
(2) 当x0时,F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=
当1≤x2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=
当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1
故X的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
故X的分布律为
X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数
4.(1) 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=,
其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.
(2) 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N, k=1,2,…,N,
试确定常数a.
【解】(1) 由分布律的性质知
故
(2) 由分布律的性质知
即 .
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:
(1) 两人投中次数相等的概率;
(2) 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1)
+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;
(2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】(1) (2)
11.设P{X=k}=, k=0,1,2
P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}.
【解】因为,故.
而
故得
即
从而
12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001)
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