四边形与几何变换.docVIP

四边形与几何变换 一、轴对称 1.折叠问题 （三帆中学期中考试）如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长． (2007年161中，，，若将该矩形折叠，使点与点重合，求折痕的长． 【变式1】例题的条件不变，连接，．求证：为菱形． 【变式2】例题中的变为平行四边形，是否仍然有，，？为什么？ 【变式3】例题中变为平行四边形，为经过的任意直线，、分别为该直线与、或其延长线的交点，是否仍然有，，？ (2007年清华附中期末考试)如图，矩形纸片，，，沿对角线折叠(使和落在同一平面内)，求和重叠部分的面积． 【补充】如图，矩形中，，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，试确定重叠部分的面积． (2006年西城区抽样测试)将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为． ⑴若，．求的长； ⑵四边形中，比较与的大小． 一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗?请写出你的中，，，若将该矩形折叠，使点与点重合，求折痕的长． 例题中的变为平行四边形，是否仍然有，，？为什么？ 例题中变为平行四边形，为经过的线段，、分别在、上，是否仍然有，，？ 例题中变为平行四边形，为经过的任意直线，、分别为该直线与、或其延长线的交点，是否仍然有，，？ 例题中为菱形或者正方形，前一个变式中的结论是否仍然成立？ 例题中的变为正方形，点向下移动到线段上某一点，，且被平分，、分别在、上，求证：． （2009深圳）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是 ． 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）： 如果由信纸折成的长方形纸条（图⑴）长为，宽为，分别回答下列问题： ⑴ 为了保证能折成图⑷的形状（即纸条两端均超出点），试求的取值范围； ⑵ 如果不但要折成图⑷的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终 图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（用表示）． 2.线段的最值问题 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值． 【变式1】已知条件不变，求的最大值． 【变式2】已知条件不变，求的最小值与最大值． 如图，正方形中，是的中点，，点是上一动点，则的最小值是 ． 【补充】如图，在菱形中，，在上，，，在上，求的最小值． 【补充】如图，边边长为的菱形对角线上的一个动点，点、分别是、边上的中点，求的最小值． (2000年全国数学联赛)如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和． 求的值． 二、旋转 （2009平谷一模改编）如图，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，求的长． 如图，正方形被两条与边平行的线段分割成个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的倍，试确定的大小，并证明你的结论． （2009房山二模）⑴ 如图1，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：； ⑵ 如图2，在四边形中，，，分别是边上的点，且，⑴中的结论是否仍然成立？不用证明． ⑶ 如图3，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 如图，正方形内有一点，，，. （1）求的长；（2）求的大小；（3）求正方形的边长. 【变式1】变式1中其他条件不变，，，，求的大小和正方形的面积. 【变式2】是边长为1的正方形内一点，若，，求的大小. 【变式3】（西城外国语学校2007年期中试题）如图，为正三角形内一点，、、满足关系式，且，设，满足，求的值. 【变式4】（北京市数学竞赛题）如图，是边长为1的等边内任意一点， 求证：. （2008湖北罗田改编）在中，，，以斜边为一边作正方形，正方形的中心为，求的长． 【补充】已知正方形，在边上取一点，作交的外角平分线于，求证：． （2009年西城一模）已知：，以为一边作正方形，使两点落在直线AB的两侧. ⑴ 如图，当时，求及的长； ⑵ 当变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的大小. 【补充】已知正方形和等腰，，，按图甲放置，使点在上，取 的中点，连接． ⑴ 探索的数量关系和位置关系，并说明理由； ⑵ 将图甲中绕点顺时针旋转得图乙，连接，取的中点，问⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶ 将图甲中绕点转动任意角度（旋转角在到之间）得图丙，连接，取的中点，问⑴中的结论是否成立，请说明理由． 【补充】两张大小适当的正方形纸片，如图所示重叠放在一起，重叠部分是一个凸八边形．对角线，分这个八边形为四个小的凸四边形．请你证明且． 三、平移 （2007年1011），四边形中，若，则必然等于.请运