;732 随机变量的方差.pptVIP

§7.3.2 随机变量的方差 随机变量的方差有如下性质： §7.3.3几个随机变量的期望和方差 §7.3.2 随机变量的方差 §7.3.3几个随机变量的期望和方差 0.2 0.5 0.3 300 200 100 引例 某公司有两个投资方案，每种方案的投资收益（单位：万元）是一个随机变量，分别用 、 表示，其分布律如下： 由于资金有限，该公司只能选择一种方案进行投资.请问该公司应该选择哪种投资方案？ 0.2 0.5 0.3 210 200 160 分析： 在上述引例中，公司应该选择期望收益更高的方案进行投资，但计算发现： 两个投资方案的期望收益相等.此时，我们无法通过投资收益的期望值做出选择. 故公司应选择风险相对较小的第二种方案进行投资. 0.2 0.5 0.3 300 200 100 0.2 0.5 0.3 210 200 160 第一方案的投资结果比第二种方案更为分散（投资的各种可能的结果与期望值的偏差更大），即第一种方案的投资收益的不确定性更大. 定义 7.17 设 是一个随机变量，称 （7.32） 为 的方差. 称为 的标准差. 如果 是离散型随机变量，且有分布律 ，则 （7.33） 如果 是连续型随机变量，且有概率密度 ，则 一般地，称表示随机变量值离散程度的指标为方差，定义如下： （7.34） 案例7.53计算前述引例中两种投资方案的收益的方差 及 . 解： 引例中已经求出 ： 由（7.33）式 同理可得： 由于 ，故公司应选择第二种方案进行投资，这与我们前面的结论是一致的 解： 债券A的风险值为： 因为标准差越小，债券的风险程度也就越小. 通过上面的计算可知债券B的标准差明显比债券A小，所以债券B的投资风险较小. 案例7.54 债券A的可能收益率分别为 0％、10％、18％和30％，它们的可能性分别为0.3、0.2、0.4和0.1，其预期收益率为12.2％；债券B的可能收益率分别为 5％、8％、10％，它们的可能性分别为0.3、0.4、0.3，其预期收益率为7.7％；试比较哪种债券投资风险比较小. 案例7.55现有两个投资方案，其年平均利润可能值及其发生概率如下表，试分析其投资风险大小. 方案B 方案A -10 -50 0.25 小 7 8 0.50 中 30 70 0.25 大 年利润Xi（万元） 发生概率Pi 市场需求 先求出两投资方案的利润期望值： 解： 因为 ，照理应选方案1 方案1利润分布范围为－50～70 方案2利润分布范围为－20～30 显然方案2的利润概率分布比方案1密集 为此，计算两个方案利润的标准差： 所以得标准差为： 显然 比 大得多，也即方案1的风险比方案2大得多.而两方案的利润期望值又接近，故应选择方案2. 用标准差可以比较两个投资方案的风险大小.当两个方案的评价指标期望相同或相近时，一般的投资者均会选择风险小的方案.当两个方案期望值不同时，方案选择依赖于投资者对风险的忍受程度（即风险偏好） （7.35） （注：计算随机变量的方差时常用此公式） 证明 计算方差常用公式 我们用上述公式重新计算案例7.55： 结论是一致的. 案例7.56 一种股票的未来价格是一随机变量，一个要买股票的人可以通过比较两种股票未来价格的期望和方差来决定购买何种股票，由未来价格的期望值（即期望价格）可以判定未来收益，而由方差可以判定投资的风险.方差大则意味投资风险大，设有甲、乙两家公司的两种股票，今年的价格都是10