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* §7 分段插值法 7.1 高次插值的龙格(Runge)现象 Runge现象 ？ 结论 高次插值产生龙格现象 取等距节点 例 分别作2、4、6、10次拉格朗日插值多项式， 则f(x)与 ---等距节点高次插值所产生的小 表2-10 0 -1.76278 -1.53166 -0.83671 0 0.26607 0.03846 1.80438 1.57872 0.88808 0.05882 -0.20130 0.03846 0.04160 0.04706 0.05131 0.05882 0.06477 5 4.8 4.5 4.3 4 3.8 R10(x) L10(x) f(x) x 问题 高次插值过程的收敛性如何？ 拉格朗日插值多项式之间图像如图示. 措施 采用分段低次插值. 区间内逼近很差的现象. 误差在高阶差分中的传播 若xk处的函数值yk有初始舍入误差εk , 高阶差分中误差传播如表: 设有y=f (x)的一组等距节点的函数值 误差在高阶差分中的传播表 产生Runge现象的原因 措施 采用分段低次插值. 分段三次埃尔米特插值 常用的插值方法 思想方法 把区间分段,每一段上用低次插值. 分段线性插值 7.2 分段线性插值 且已知y=f(x) 函数表 分段线性插值定义（p55定义7 ） 称 为数据 的分段线性插值函数. Ih(x)为线性多项式Ik(x); (2) 在每一个小区间 (3) 满足插值条件: 如果Ih(x)满足 几何意义 相邻两节点间的函数为线性函数, 图象为线段. 在整个区间[a，b]上为折线. 收敛性 由Taylor 展 开式,得 因而有 即Ih(x)一致收敛于f(x). 光滑性差 7.3 分段三次埃尔米特插值 且已知y=f(x) 函数及导数表 分段3次Hermite插值定义（p55定义8 ） 如果Ih(x)满足 Ih(x)为3次多项式Ik(x); (2) 在每一个小区间 (3) 满足插值条件: 称 为 的分段3次Hermite插值函数. 分段3次Hermite插值多项式的表达形式 （两种） 分段3次Hermite插值多项式的表达形式 （两种） 表达形式 1 表达形式 2 其中 Ik (x) 求导, 得 事实上， 得 解之, 得(7.5). *