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牌欲冷揖容传裤免泡抛棵重孙衰笨璃札抵情昏雇捣荚细辟维净潮良蛔膘换《信号与系统三章《信号与系统三章;第三章 周期信号的傅里叶级数表示;3.0 引言 第二章是在时域中对信号和系统进行了分析。 1、将离散时间信号分解成移位单位脉冲的加权和； 2、将连续时间信号分解成移位单位冲激的加权积分。 3、利用LTI系统的线性与时不变特性， 导出了卷积和与卷积积分。 从而解决了LTI系统在时域进行分析的方法问题。 这种方法的好处是： 1、使我们在已知系统单位冲激响应和给定系统输入的条件下，计算LTI系统的 响应时变得十分方便。 2、揭示了LTI系统对任意输入信号的响应是由系统对构成输入信号 的基本信号单元的响应组合而成的。 因此，我们可以把系统的性质与单位冲激响应的特性相联系，并 通过对单位冲激响应的研究来详细分析LTI系统的特性。 ;下面将讨论信号与系统的另一种分析方法——频域分析法。 频域分析法的基本思想: 设法将信号分解成一组基本信号单元的加权和或加权积分，进而利用LTI系统的线性和时不变性解决系统分析问题。 与时域分析所不同的是： 频域分析法中利用复指数信号作为分解信号的基本单元。 信号的这种表示就是连续时间和离散时间傅里叶级数与傅里叶变换。因此频域分析又称为傅里叶分析。 ;3.2 LTI系统对复指数信号的响应 在研究LTI系统时,将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的,但这些基本 信号应具有以下两个性质: 1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号； 2、LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，使得系统对任意输入信号 的响应有一个很方便的表示式。 连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质。（ ， 其中： s 和 z 都是复数） 一个LTI系统对复指数信号的响应也同样是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化；也就是说： 连续时间： 离散时间： 其中：H（s）或 H (z)是一个复振幅因子——称特征值。 特征函数——若系统对一个信号的输出响应仅是一个常数（可能是 复数）乘以输入，则该信号称为系统的特征函数。; 为了证明复指数 确实是LTI系统的特征函数,设输入信号为 ，系 统的单位冲激响应为 h (t), 则有;用同样的方法证明：复指数序列也是离散时间LTI系统的特征函数； 设LTI系统的单位脉冲响应为 h [n] ,输入序列为 ，式中 z 为某一复数。则系统的输出为;如果令x (t) 是三个复指数信号的线性组合，即;结论：1、在连续时间情况下，若系统的输入可表示为复指数的线性组合，即;3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3.3.1成谐波关系的复指数信号的线性组合 ;那么，x (t)也一定是以T为周期的。这表明完全可以用成谐波关系的复指数信号 的线性组合来表示连续时间周期性信号。 式中， k = 0 这一项是一个常数，因而称直流分量；;在上式中以 代替 k ，可得 ;（3.31);尽管三角函数形式的傅里叶级数是最早产生的，也是最普遍采用 的，但由于指数形式的傅里叶级数会对问题的讨论带来极大方便， 因此，在以后的章节中都采用指数形式的傅里叶级数。;3.3.2连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定(系数的确定) 为了将周期信号表示为傅里叶级数形式,必须解决系数如何确定的问题。为此， 1、将（3.25)式两边各乘以 ,可得;当k = n 时，由于被积函数变为1，显然该积分等于T。 于是;这一对关系式定义为一个周期连续时间信号的傅里叶级数。 ;例3.5 图3.6示出一周期性方波,在一个周期内定义如下:;下图画出了在某一固定的 和几个不同的T下傅里叶级数系数的条线图;3.4 傅里叶级数的收敛 这一节将讨论两个重要问题: 1、究竟有多大一类的周期信号可以表示为傅里叶级数形式，即傅 里叶级数的收敛问题。 2、如傅里叶级数收敛，那么该傅里叶级数与原周期信号是在什么 意义下的等效 表示 。即傅里叶级数表示的有效性问题。 先考虑第二个问题：先研究周期信号x ( t ) 用有限项谐波指数信 号的线性组合来近似的问题，即用下列有限级数来近似x ( t )的问