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3.δ函数在积分变换中的作用 (1)有了δ函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管δ函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-∞,+∞)上的积分都有确定的值。 (3)δ函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用δ函数而得到。 由上面两个函数的变换可得 这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱 (四)付氏变换的物理意义——频谱 1.非正弦的周期函数的频谱 例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 t p p -w0 w0 O w |F(w)| ? (一)常用函数付里叶变换公式 §1.3 付氏变换的公式和性质 例 5 证明： 证： (二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式 (三)付氏变换的性质 1．线性性质。 设F = ，F = ，和 为常数，则 b 2．位移性质 该性质在无线电技术中也称为时移性质。 3．对称性质 若 ，则 4．相似性质 若 ，则 5．象函数的位移性质 若 ，则 象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。 6.翻转性质 若 ，则 ?7.微分性质 若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时， ，则 推论 若 （k=1,2,…,n）在 上连 续或只有有限个可去间断点，且 =0，k=0,1,2,…(n-1), 则有 8.象函数的微分性质 若 ，则 一般地，有 若当 时， = ,则 如果 ，则 9.积分性质 其中 10.象函数的积分性质 若 ，则 11.乘积定理 若 ， ，则 其中 ， 均为t的实函数， 、 分别为 、 的共轭函数。 12.能量积分 若 ，则 该等式又称为巴塞瓦等式。 13.卷积定理 设 ， 满足付氏积分定理中的条件， 且 ， ，则 §1.4 卷积与相关函数 一、卷积的意义 若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t) * f2(t)，即 二、卷积的性质 第二章 拉普拉斯变换 §2.1 拉普拉斯变换的概念 一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义 设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可写为 称 为 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为 ，即 又称 为 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记 即 二、拉氏变换的存在定理 拉氏变换存在定理 设函数f (t)满足下列条件： 1°当t＜0时，f (t)=0； 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点； 3°f (t)是指数级函数。 则f (t)的拉氏变换 在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，F(s)是解析函数。 关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明： (1)从物理应用观点来看，条件2°、3°都是容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考虑。例如sint，若要对它进行拉氏变换则应把它理解为sintu(t)。 (2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的。 (3)如果f (t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。 三、关于拉氏变换的积分下限问题 f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点。