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2013年高考数学试题精编：6.2不等式的证明
第六章 不等式
二 不等式的证明
【考点阐述】
不等式的证明．
【考试要求】
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
【考题分类】
【考题分类】
（一）选择题（共 1 题）
a , a ∈(0,1) M a a ,N a +a −1
1.（上海春卷 16）已知 1 2 ，记 1 2 1 2 ，则 M 与 N 的大小关
系是（ ）
A．M N B．M N C．M N D．不确定
答案：B
M −N a a =−a −a +1 (a =−1)(a −1) 0 M N
解析：由 1 2 1 2 1 2 ，故 ，选 B.
（二）解答题（共 2 题）
a3 +b3 ≥ ab ( a 2 +b2 )
1.（江苏卷21④）已知实数 a,b≥0，求证：
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。
3 3 2 2 2 2
a +b − ab (a +b ) a a ( a =− b ) +b b ( b − a )
（方法一）证明：
5 5
( a =− b )[( a ) −( b ) ]
2 4 3 2 2 3 4
( a =− b ) [( a ) +( a ) ( b ) +( a ) ( b ) +( a )( b ) +( b ) ]
2 4 3 2 2 3 4
( a − b) ≥0,[( a) +( a) ( b)+( a) ( b) +( a)( b) +( b) ]≥0
因为实数 a、b≥0，
3 3 2 2
所以上式≥0。即有a +b ≥ ab (a +b ) 。
（方法二）证明：由 a、b 是非负实数，作差得
3 3 2 2 2 2
a +b − ab (a +b ) a a ( a =− b ) +b b ( b − a )
5 5
( a =− b )[( a ) −( b ) ]
5 5 5 5
当a ≥b 时， a ≥ b ，从而( a ) ≥( b ) ，得( a − b )[( a ) −
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