构造函数与函数图像解中学数学问题.doc

（已用）数学 构造函数及函数图像解中学数学问题 晋城中学 杨学军 庞春艳 函数是解决实际问题的有力工具。客观世界是不断运动的、发展变化的，运动的规律、变化的趋势，需要用变量来刻划，用函数来研究。 函数是中学数学的主要内容。无论数、式、方程、不等式都与函数有密切联系，抓住了函数，就抓住了纲，就能纳举目张。 使用函数图像，数形结合，有利于找到解题思路，有利于提高解题速度和准确程度。 1、构造线性函数 例1 已知，求证：。 证：将字母作为变元，构造函数 只证时， 事实上， 又线性函数是单调函数。∴当时，介于与之间，即当时，。 例2 设，且，，求证：。 证：∵ 解得 ∴ 将，两式相加，即得。 2、构造二次函数 例3 已知实数、、满足，，求证、、中必有一个大于。 证：易知、、为一正二负，不妨令，只证，∵，，则，是的二根。 ∴△＝，解得。 例4 已知关于的实系数方程有二实根，，且 ，求证，。 证：构造二次函数，与轴交于二点A（，0）,B（，0）。 只证A、B在（-2 ，2）上，即证，，顶点横坐标。 事实上：，即，即，。又∴ ∴。 ∴A，B二点横坐标，满足，。 例5 设在范围内方程具有两个不同的解，试求的取值范围。 分析：即，在内有两个不同的解。 令，即在内有一个实根。 解1：作二次函数 ………… ① 一次函数 ………… ② 在内有一个公共解，即抛物线①与直线系②在[0 ，1]内只有一个公共点。 ∴切线符合条件，这时△＝，，（舍去）。且当直线位于，（连接AB二点直线），与 （连结AC二点直线）之间时也满足条件（如图） ∴或 解2：作二次函数 …………③ 依题意③在[ 0 ，1)有一个根，分三种情况讨论： 如图左，△＝，，（舍去）；对图中，△＝； 对图右，△0,分别满足： ∴ 空集无公共解 3、构造高次函数 例6 分解因式 。 解：以为变无构造函数 ∵ ∴能被整除，即能被整除。由对称性知也能被，整除。 可令比较二边系数，可得，。故 ＝ 例7 已知实数、满足，求的值。 解： 令，则＝，又，是R上奇函数。 ∵ ∴ 4、构造其他函数 例8 已知，，试求方程有解的的取值范围。 解1： …………（1） 作 …………（2） 即 …………（3） （1）有解，即直线束（2）与双曲线（3）有交点。 ∴（2）的横截距满足或，即或，如上图。 解2： ，， 例8 求证，时，。 证法1：比值法。 构造，只证 ∵ ＝ 故单调减少，又，∴。 证法2：差值法。 ＝ ∴时， 证法3：取对数法。 只证 只证 令，只证是单减函数。 ∴ 反推回去，可得。 推论：若，则，这说明指数比底数更起作用。 1