高等数学1.1集合 常量与变量.ppt

1. 集合 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。 元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合M的元素表示为a?M。 集合的表示: (1) A={a, b, c, d, e, f, g}。 (2) M={(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1}。 邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。 设?0，则称区间(a-?, a+?)为点a 的?邻域，记作U(a, ?)，即 U(a, ?) ={x|a-?xa+?} ={x| |x-a|?}。 其中点 a 称为邻域的中心, ? 称为邻域的半径。 2. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。 二、函数概念 1. 举例 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +?)内的任意值。 3. 函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C={(x, y) | y=f(x)，x?D} 所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。 4. 函数举例 例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。 对于任意x?(-r, r)，对应的函数值有两个： 例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-?, +?)。 函数的值域为W ={2}。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。 例5. 函数y=[x]称为取整函数。 函数的定义域为D=(-?, +?)， 函数的值域为W =Z 2. 函数的单调性 3. 函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一x?D有(x?l)?D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点： 四、反函数 在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反函数写为y=? 。 反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。 O x y y=x y=f(x) y=j(x) P(a,b) Q(b,a) 关于反函数的变量符号： * 一、集合 常量与变量 二、函数概念 三、函数的几种特性 四、反函数 §1。1 函 数 函数举例 定义域、 函数的图形、 函数的定义、 集合、 区间、 邻域、 常量与变量 有界性、 单调性、 奇偶性、 周期性 一、集合 常量与变量 几个数集: N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。 R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 子集: 若x?A，则必有x?B，则称A是B 的子集，记为A?B（读作A包含于B）。 显然，N ? Z ，Z ? Q ，Q ? R 。 数集{x|axb}称为开区间， 记为(a, b)，即 (a, b)={x|axb}。 x O a b (a， b) [a, b]={x|a?x?b}称为闭区间。 x O a b [a， b] [a, b)={x|a?xb}及 (a, b]={x|ax?b}称为半开区间。 x O a b [a， b) x O a b (a， b] 区间: 上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为区间的端点，b-a 称为区间的长度。 x O a [a，+?) x O b (- ? ， b] (-?, b] ={ x|x?b}， (-?,+?) ={ x| |x|+?}。 [a, +?) ={ x|a?x}， 以下区间称为无限区间： x O b (- ? ， b) (-?, b) ={ x|x?b}， (a, +?) ={ x|a?x}， a x O (a，+?) 去心邻域: (a,?) ={x |0| x-a |?}。 x O a-d a+d U(a, ?)， x O a-d a+d (a，d ) a