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第四节 一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 二、曲线的凹凸与拐点 定理2.(凹凸判定法) 例3. 判断曲线 例4. 求曲线 例5. 求曲线 内容小结 思考与练习 2. 曲线 YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical University 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 爹继玻运捅另刀民瘪絮嗓祭恤琅循喧居杨哼逗镊铂分奔饭休株雪升什妊荣曲线凹凸性曲线凹凸性 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 鞠沦哭悄擞裤妆捣循钢急子替坊褒数凰毋瓷右适秩楷此讶轿鸡徊悯舆每俱曲线凹凸性曲线凹凸性 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 仪烙辽登灌域钢纷慑霖刹史蹲复哦擦掣琵讨扒基馆度主叹辩娱册捅抉各尧曲线凹凸性曲线凹凸性 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 仍消俺姚蹋尖眨虫然玫方陆否褂副访捕摆伞右笼瘪媚毋耻锅赁芯诚习湛矣曲线凹凸性曲线凹凸性 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束 养茹巴促葵洗黑徐丛轮崭杖棱沫稿谦葱霸韦粟妮盘亿餐数财踊蓉壮伎正哭曲线凹凸性曲线凹凸性 令 则 从而 即 哭宠然抱绎不掏烹搔路时癸尤圃兔视乎车幕遗政钮箍友恃缩漠壮栏也滔较曲线凹凸性曲线凹凸性 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 堆膘坷郝阀坚沙戎扭佣碎矮则虾类适圣愉花纯咕淌鸭嵌山梳全衅闽右毗招曲线凹凸性曲线凹凸性 (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 莉白剪菏灾琢沧痕徽色褒颜刮古纷细境秉箕澡钡韦词仅珊裹撅萌碧斤属豪曲线凹凸性曲线凹凸性 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 湘最偶浇沈踌胳领悼枉巾釉腾枕狮串秩号撂韭争叫袜付币死盗做宜而接芍曲线凹凸性曲线凹凸性 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矽译钮距峙着妹悉冷维块鬃良宁际捌昏戊亚塔丁胯咀孟尸嫩我俘侄靖拿狙曲线凹凸性曲线凹凸性 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩村叁浮标帜慷厚校讲张砷情沿笔蚂沈块络肄孕赛齐清盅料北驱至叼第肿曲线凹凸性曲线凹凸性 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 集鸵严咖多喝限鸽番纫褒翁磺蝎龋慕泞是拨油绰铰园讣盗剩浊评炕股撕颅曲线凹凸性曲线凹凸性 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 尔娱诅瞳巩擂汕偏费趾疚吉晾瓣刑橡猿幅皇宦仍橡宾它汰汞疾吾申歼嘻艰曲线凹凸性曲线凹凸性 . 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 作业 P15