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输油管的布置 数学系信息0901 张帅 徐智慧 白斌 摘要 随着人们对石、液化燃料需求的不断增加，油田加大了对石液燃料的开采。与此同时，如何更好、更廉价的解决石液化气的运输成为了当前最重要的一个问题。本文针对两炼油厂到铁路线距离的各种不同情形和管线费用的差异，把最优化理论、最短路径算法及贪心算法通过综合运用，建立了几个不同的模型来对输油管的布置方案进行了探讨。 针对问题一，主要分为两种情况。首先，在不考虑共用管线和非共用管线价格的差异时，所需铺设管线的最少费用问题即变为求管线最短的问题，此时利用费马点的性质来建立管线距离模型，就可以得到最优解。其次，当共用管线和非共用管线价格存在差异时，需要对是否共用管线的问题进行讨论并列出相应的函数（价格）表达式，从而选择最优方案。 针对问题二，由于城区的管线还需拆迁和工程补偿等附加费用，而附加费又是一个估计值，因此我们用加权法来确定附加费的值。此时问题转化为问题一的第二种形式，由于计算量较大，所以我们用Maple作图分析图像的估值方法，确定近似值。然后通过简单的计算来逐步求取最优解。 针对问题三，沿用第二问的模型，并在同时考虑附加费用和共用管线费用的前提下，采用控制变量和分布计算相结合的方法，求出所给模型的最优解。 最后，对所建的模型进行优劣评价和改进。 关键词：费马点；Maple ；最优解；加权法 1. 问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 2. 问题分析 问题一中给出四个变量，分别为两炼油厂到铁路线距离、两炼油厂间距离和管线的价格，因此我们所要得到的最优方案至少是受这四个变量影响的。又因为在解题过程中存在共用管线的问题且共用管线和非共用管线在价格上存在有差异和无差异之分，故对问题的分析需要考虑两种情况，即在有差异的条件下和无差异条件下的最优方案。 问题二是在问题一的基础上提出更为具体的要求，即增加了附加费用，考虑到附加费是三家不同资质公司的估计值，存在一定的偏差。所以为了更为精确的解题，需要对各个公司给出的值进行加权计算。同时可知对本题影响较大的即是附加费用，因此最大限度的减少附加费用是解决问题的关键。 问题三需要把最优化理论、最短路径算法及贪心算法求解综合起来运用，由于同时存在着共用管线和非共用管线，所以既要考虑不同管线的铺设价格，又要兼顾不同地区的附加费，从而最终决定所建立模型的最优解。 3. 模型假设 EFBAHC E F B A H C 图一 A,，B为两炼油站，EF为铁轨，C为火车站的可能建址。 C 假设一：A，B共处于垂直于轨道的一条直线上时，无论共用管线和非共用管线价格是否相同，最省钱的铺管方案总为：A到铁轨的垂线段。 假设二：A，B不处于垂直于轨道的一条直线上时，则A，B间可能出现共用管线，即需要考虑共用管线与非共用管线价格的差别。故而，需进一步分情况讨论： Ⅰ）共用管线与非共用管线价格相同时，铺设管线所需费用可直接反映在使用管线的总长度。 图二F 图二 F C E B A H 如图二所示，在三角形内，费马点到三顶点距离之和最小，故铺设时按照，，三条线段所需管线长度最短，铺设所需费用最省。 Ⅱ）共用管线与非共用管线价格不同时，所求目标函数为：。其中表示单位距离内输送A厂成品油的管线铺设的价格，表示单位距离内输送B厂成品油的管线铺设的价格、表示铺设单位距离公共管线的价格。其中的H