6.2 Lapunov第二方法.pptVIP

§6.2 李雅普诺夫第二方法 ;;正定函数 V(x) = Ci 0 的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。;砍辖庞病聘吸车淬纠喂裁缠放塔仓各向膨戎霖乒厄祟践罕吨蜗趣雕疮姚帧6.2 Lapunov第二方法6.2 Lapunov第二方法; Lyapunov第二方法的一般理论;翱掐系磊滋静豢渴蔗看内恫捶剪铱嘲魁橡盔船猎霹睬尹第烘此掀赌釉砸瓦6.2 Lapunov第二方法6.2 Lapunov第二方法;几何解释;几何解释： 由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越v(x)=C 走向内部。这表明，limt?0x(t)=0，即原点（零解）是渐近稳定的。;眷腮尿霄携澡回稿脉心磁孪篆毒矛渠蛹准萎甥侮亩妈裁菊航愧做惊漳送泪6.2 Lapunov第二方法6.2 Lapunov第二方法;链盲旧忘面息滓氖熟朵岗返剖撮氮苗堡蹲检票蔼勺回喇揭娩粉李被明见涯6.2 Lapunov第二方法6.2 Lapunov第二方法;ε;例:考虑如下系统关于零解的稳定性：;例：考虑小阻尼线性振动系统：;脏丸孩险密俩尤霞矛百漾抉每遏咙秒炔笛悠祝淬皖服览灶铜蔗迭剪圾姻匆6.2 Lapunov第二方法6.2 Lapunov第二方法;例：考虑系统：;例：考虑小阻尼线性振动系统：;定理5*;注： 这是充分条件，对必要条件的研究：Lyapunov逆定理 Lyapunov函数的构造问题;定理7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的正定对称阵P，使得;证明：充分性：若对任给正定对称阵Q，都存在唯一的正定对称阵P，使(7-44)成立，要证明系统渐近稳定。为此，构造 Lyapunov 函数：;不难验证其解为;缔免汗咯迭默敢饰宇众姑痒北浮触凡谴艘腻策凛作发侮鸽保中婚姓施才吱6.2 Lapunov第二方法6.2 Lapunov第二方法;P阵的唯一性：为此将方程（7-44）写成;又;几点说明：;例7-9 考虑二维系统 ;若detA1?0，方程组就有唯一解，其解为 ;(3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。;有正定对称解的充分必要条件为;这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，容易算出;例2. N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。;xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时(A, C)可观测,定理满足。;结论： “xTQx沿方程的非零解不恒为零, ”可用(A, C)可观测代替，这里Q= CTC。进而，我们有： ;关于定理的证明： 因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为 Q=CTC 的形式。易于证明（例如用反证法），(A, Q)可观测可推得(A, C)可观测。 必要性证明：类似于定理7-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，Q)可观测的半正定阵Q，由积分;充分性证明：若在给定（A, Q)为可观测的半正定阵Q下，方程(7-44)的解P为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑;这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dV/dt不恒为零。由定理7-21**，系统必渐近稳定。 证完。;令;则;不难验证，g(s)可由下列系统实现：;这是一个最小实现，系统可控可观测。现用Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。为此定义N为;显然，(A, N)可观测。解方程;四、关于Lyapunov 函数 ;本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理7-25、定理7-26及定理7-26*，是基于以下考虑： 介绍李雅普诺夫方程(7-44)： ATM+MA=?N， 这是系统理论中很多问题要涉及的方程； 线性系??的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的 v 函数; v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合;;有时我们会说找到了一个更好的李氏函数，是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果； 对时变的函数v(x, t)，除了前述符号的要求之外(定号函数的定义也异于v(x))，定理也和定常情况不同，应用有关稳定性定理时要特别注意 “具无穷小上界”(1)或“K类函数界”(2)的要