命题逻辑在数学解题中的应用.doc

命题逻辑在数学解题中的应用 学生姓名： 指导老师： 一、引言 在一些数学竞赛和考试中我们经常会遇到一些很难推断推理的题，它们一般是用自然语言表述的，容易引起歧义，这时如果用一般的推断推理方法时，需要进行多个假设，即使通过很复杂的假设能够推断推理出结论，也不一定正确，而用我们所学的命题逻辑的知识进行系统的分析演算后，这些题就会很容易地得到解决，著名的数学家莱布尼茨说过“在人们有争议的时候，只要把他们想说的话写下，我们就可以简单的说，让我们进行演算，而无须进一步忙乱，就能看出谁是正确的。” 那么怎样应用命题逻辑来解决这些问题呢？我们中学所学过的证明题又是应用了什么样的逻辑依据呢？ 在解决以上问题之前，先让我们来了解一下关于命题逻辑的一些相关知识。 二、相关知识 1．命 题：在特定范围、时间和空间内，具有唯一确定的真假性的陈述句。也可以说是能够判断真假的陈述句。 2 复合命题：由简单命题用连结词联接而成的命题。 3．联 结 词：将简单命题联结成复合命题的一种基本的词语。主要有“否定” 、“合取” 、“析取” 、“蕴涵” 、“等价”这五种联结词。 否定联结词有“非” 、“不是”等，如设是任一命题，复合命题“非”称为的否定式，可以表示为“”，“ ”称为否定联结词。 合取联结词有“且” 、“并且” 、“而且”等，如设，是两个命题，那么复合命题“并且”称为与的和取式，可以表示为“”，“”称为和取联结词。 析取联结词有“或”等，如设，是两个命题，那么复合命题“或”称为和的析取式，可以表示为“，“”称为析取联结词。 蕴涵联结词有“如果，那么” 、“如果，则”等，如设，是两个命题，那么复合命题“如果，那么”，可以表示为“”，“”称为蕴涵联结词。 等价联结词有“当且仅当”， 如设，是两个命题，那么复合命题“当且仅当”，可以表示为“”，“”称为等价联结词。 4．命题公式：将命题常项和命题变项用联结词和圆括号按一定逻辑关系联系起来的符号串（也就是说命题公式不是单个命题而是几个命题通过联结词联接起来的一串的命题）。若、为命题公式，那么，等，也为命题公式。 5．重 言 式：若为一命题公式，如果在它的各种赋值下取值都为真。 三、命题逻辑在数学推断、推理题中的应用 在解决推断、推理题过程中，一般情况下我们会按照正常思维的方式来假设推断推理，但是常常会觉得思维混乱，推断推理复杂，有时候需要假设很多，所以很容易出错，但是如果用数学中的命题演绎推理就会事半工倍，推理思路清晰，方法简单明了，可以更容易且准确的解决这些问题。 数理逻辑中的命题逻辑是最简单也是最基础的，也是运用非常广泛，数理逻辑是研究命题间的推理，“命题”是研究的最小的单位，而命题逻辑在推断、推理题中的应用主要特征就是“形式化”，也就是将研究对象“数学推理”形式化。 形式化分为两步：1.将推理系统符号化；2.符号化的命题和语言表述的公理和推理规则形成一个形式系统。最后这种形式系统可按照命题演绎推理的方法进行推断或推理。 （一）在推断题中的应用 例1．某公司为了提高工作人员的专业工作能力，故决定派出几名优秀的工作人员出国考察学习，甲、乙、丙、丁、戊是公司从众多申请者中选出的几名比较合格的人员，但为了不影响正常工作需要，他们五个不能全去，所以这次选派必须满足以下条件： ⑴如果甲被派出国学习，则乙也要被派出国学习； ⑵丁、戊两人中必有人被选派出国学习； ⑶乙、丙两人中有且仅有一人被选派出国学习； ⑷丙、丁两人要么都派去，要么都不去； ⑸若戊被派出学习，那么甲、乙也将被派出。 为了合理安排工作，那么根据这些条件这个公司应该从这五人中怎样挑选，挑选谁进行出国学习呢？ 方法一：一般的推断方法 分析：此题是为了推断出几个人派出，谁应该派出，而且肯定有人被派出，但派出人数和人物不固定，那么我们就必须一个一个假设，看怎样的假设才是合理的。 ①假设如果甲一定被派出，那么根据条件⑴我们可以推断出乙一定也被派出，又由⑶⑷可以推断出丙、丁都不去，那么根据条件⑵又可推断出戊一定去，经过以上推断我们可得出一种选派方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。 ②假设如果乙一定被派出，那么由条件⑶⑷可以推断出丙、丁一定不被派出，而又由⑵可以推断出戊一定被派出，那么由条件⑸又可以推断出甲、乙也将会派出，经过以上推断我们也可得一种选派方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。 ③假设如果丙一定被派出，那么由条件⑷可以推断出丁一定也被派出，由条件⑶可以推出乙一定不被派出，而又条件⑵可以推出戊可能派出，也可能不派出，假设如果戊被派出的话，由条件⑸可以推出甲、乙一定也被派出，这就与前面的推理相矛盾，所以戊一定不被派出，因此