Microsoft Word - 背包九讲.pdf

P01：01 背包问题 题目：有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解 将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 基本思路： 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 用子问题定义状态：即 f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的 最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有 必要将它详细解释一下：“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略 （放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物品的问题。如果不 放第 i 件物品，那么问题就转化为 “前 i-1 件物品放入容量为 v 的背包中”；如果放第 i 件物品，那么问题就转化为 “前 i-1件物品放入剩下的容量为 v-c[i]的背包中”，此时能 获得的最大价值就是 f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i]。 注意 f[i][v]有意义当且仅当存在一个前 i 件物品的子集，其费用总和为 v。所以按照 这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是 f[N] [V]，而是 f[N][0..V]的最大值。如果 将状态的定义中的 “恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项 f[i][v-1]，这样就可以保 证 f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。 优化空间复杂度： 以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了， 但空间复杂度却可以优化到 O(V)。 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1..N，每次算出来二维数 组 f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组 f [0..V]，能不能保证第 i 次循环结束 后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]] 两个子问题递推而来，能否保证在推 f[i][v]时 （也即在第 i 次主循环中推 f[v]时）能够得 到 f[i-1][v]和 f[i-1][v -c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以 v=V..0 的顺序推 f[v]，这样才能保证推 f[v]时 f[v-c[i]]保存的是状态 f[i -1][v-c[i]]的值。伪 代码如下： for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 其中的 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i- 1][v-c[i]]}，因为现在的 f[v-c[i]]就相当于原来的 f[i-1][v-c[i]]。 如果将 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了 f[i][v]由f[i][v-c[i]] 推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题 P02 最简捷的解决方案，故学习只用 一维数组解 01 背包问题是十分必要的。 总结： 01 背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想， 另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基 本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。 P02：完全背包问题 题目：有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量， 且价值总和最大。 基本思路： 这个问题非常类似于 01 背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品 的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件……等 很多种。如果仍然按照解 01 背包时的思路，令 f[i][v]表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样： f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0=k*c[i]= v}。这跟 01 背包问题一样有 O(N*V) 个状态需要