小波变换在数字图像处理中的应用精要.docx

小波变换在数字图像处理中的应用引言：小波变换（wavelet transform,WT）是一种新的变换分析方法，是20世纪80年代中期基于Y.Meyer、S.Mallat等人的奠基性工作而迅速发展起来的一门新兴学科。与傅里叶变换相比，其继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，克服了窗口大小不随频率变化等缺点。与傅里叶变换的频域分析方法不同，小波动变宽变低，具有自动“聚焦”功能。由于离散小波变换可把信号分解为不同尺度下的信号，而且非常灵活，所以把小波称为“数学显微镜”。小波分析的应用领域及其宽广，在数字图像处理方面，因其无约束基性质，对于一大类信号的压缩、去噪和检测，小波是接近最优的。本文将简单介绍小波变换原理，并讨论其在数字图像领域中的应用。理论基础小波导引对任意，其小波展开可以构造一个两参数系统，即 （1.1）其中j,k是整数指标，是小波函数，通常形成一组正交基。展开的系数集成为的离散小波变换（DWT）。 （1.2）可用内积表示，即 （1.3）小波变换的特征：它把一维（或高维）信号用二维展开集（通常是一组基）表示。小波展开具有时频局部化的特点。的计算效率可以非常高，大多数小波变换（展开系数集）的计算量为O(N)。所有的一代小波系统是由一个尺度函数或小波函数通过简单的尺度伸缩和平移生成的。如下，小波函数（或小波基函数）由生成小波（或母小波）生成： （1.4）其中，k代表时间或空间，j代表频率或尺度。几乎所有有用的小波系统都满足多分辨条件，即如果展开基的宽度减小一半，且平移步长也减半，那么它们更利于描述图像的细节。使用一个称为滤波器组的树结构算法，低分辨率系数可以由高分辨系数得到，因此计算效率很高。小波系统的多分辨阐述尺度函数小波的多分辨分析与尺度函数这一概念不可分割，借助于一个基本尺度函数，可以定义一个尺度函数的集合：， （1.5）由张成的的子空间定义为 （1.6）则通过基本尺度函数的尺度变化和平移得到的二维函数族： （1.7）对所有的，可以张成空间 （1.8）对于，那么它可以表示为 （1.9）如果，表示细节信息；如果，表示粗糙信息。多分辨分析陈述多分辨分析的基本要求是张成空间满足如下嵌套关系： （1.10）即包含高分辨率的信号空间也包含较低分辨率的信号空间。由的定义，空间必须满足固有的尺度条件： （1.11）这意味着可以借助于的平移加权和表示：， （1.12）其中系数是称为尺度函数（或尺度滤波器）系数的实数或复数序列，在本文后面会提到它作为一维离散小波变换的数字低通滤波器。为了更好的描述信号的细节信息，除了尺度函数还需定义一个不同的函数集来张成不同尺度空间的差空间，这个函数就是小波函数。将中的正交补空间定义为，则中的所有元素正交于中的所有元素。对任意满足如下关系： （1.13）一般情况下，当为尺度函数张成的初始空间时，有 （1.14）如图1.1所示。初始尺度空间的尺度是任意的，一般选择的尺度应能够表示信号的感兴趣的组粗糙细节。由于，因此对于某个系数集，小波可以由尺度函数的平移加权和表示为 ， （1.15）其中尺度系数与小波系数之间有如下关系： （1.16）对于形如 （1.1