对三种频域变换的理解精要.docx

对三种频域变换的理解　　这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。　　这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。　　三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。　　另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。　　具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：　　傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。　　但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）　　而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）? ??为什么要变换？　　一切的变换的意义，都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么。一开始我们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排，再每个乘以各自的系数（线性组合），就能得到纸面上一个波的形状。后来，伟大的傅里叶同学发现，不仅使冲激函数，用复指数信号叠加之后乘上各自的系数，也可以表达几乎所有的波的波形。而且！用复指数信号表达的输出计算方式比卷积有规律很多，而这个规律可以从频域上面看出来。这个发现，使得信号的变换进步了一大步。　　? ? 周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张（*^__^*）（来自知乎用户牛咩咩）　　拉普拉斯变换：傅里叶变换对信号的要求比较高，适应于本身衰减得快的信号。为了扩大傅里叶变换的应用范围，使其能用于更多不稳定系统的分析，人们在计算过程中人为的添上一个负指数函数作为系数，让一些不衰减的信号更快衰减，方便换算。这就是拉布拉斯变换的由来。拉普拉斯变换用于连续信号。　　拉布拉斯变换：? ???其中?　　把带回公式可得　　跟傅里叶变换的公式对比起来看，是不是只差了个系数？　　因为变换要收敛才有意义，所以收敛域讨论的是让积分之后有意义。这个稍微涉及了一点微积分的知识。最后的答案在直角坐标系看，分界线平行于Y轴。　　Z变换：和拉普拉斯变换的目的类似，把离散时间傅里叶变换公式的替换成为z，再乘以一个加权系数表示z的模（通常等于1），就进化成了z变换。z变换用于离散信号。　　z变换：? ???? ? 其中　　带进去就可以还原了。　　同样，Z变换的收敛域是要让算出的值有意义，通过等比公式展开之后可以看到，需要z小于或者大于某个值才可以，用极坐标来看，就是个圆域。　　从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）? ??怎么理解？　　我假定现在大家对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。　　一个信号，通常用一个时间的函数来表示，这样简单直观，因为它的函数图像可以看做信号的波形，比如声波和水波等等。很多时候，对信号的处理是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个变化（实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数，就好像矩阵的特征向量一样，而这个复幅度对应特征值）。? ? 因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换）那么就可以用一个传递函数来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如，傅里叶变换在数学上不存在，这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题这样一个线性系统都可以用一个传递函数来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。　　如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。　　首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用作为坐标，那么信号就可以表示为，而采用则表示为傅里叶变换的形式。线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。　　如果我们将拉普拉斯的域画出来，他是一个复平面，拉