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浅谈整数矩阵及其填充问题 　　摘要：文章证明了如果一个部分整数矩阵有一条自由对角线，那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵。这样一个条件从一般意义上讲也是必要的。随后证明了如果一个n×n（n?叟2）部分整数矩阵有2n-3个确定的元素并且这些元素中任何n个不构成一行或一列，那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵，这个结果改进了詹的一个最近的结果。 　　Abstract: The paper shows that if partial interger matrix has a free diagonal，then the matrix can be filled with a single-mode matrix.Such a condition from the general sense is also necessary. Then proved that if a n×n（n?叟2）partial interger matrix has 2n-3 determining elements and these elements do not constitute any row or column，then this matrix can be filled with a single-mode matrix. This result improved the current results of John. 　　关键词：整数矩阵；填充；问题研究 　　Key words: interger matrix；filling；research 　　中图分类号：O15 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）33-0253-01 　　 　　1整数矩阵的性质 　　为了表达的简单，我们仅仅考虑有理整数Z上的整数矩阵，但是所有的结果都可推广到更一般的矩阵环上。令Mn（Z）是在n×n矩阵上Z的环。一个矩阵A∈Mn（Z）被称为单模矩阵如果detA=1。 　　令A，B为两个等阶整数方阵，如果存在单模矩阵U使得B=UA，那么我们就说B左等价于A；如果存在单模矩阵V使得B=AV，那么我们就说B右等价于A。如果存在单模矩阵U，V使得B=UAV，那么我们就说B等价于A。 　　令k是一个整数且1?燮k?燮n。令Qk1n表示所有{i1，……ik}组成的集合，其中，i1，……ik为正整数，且1?燮i1i2……ik?燮n。那么Qk1n包含nk个不同元素。 　　令Sn表示所有n阶置换阵。设A∈Sn。如果w，t为Qk1n的两个元素，那么A（w，t）表示A的行号为w和列号为w子阵地行列式。令k是一个整数且1?燮k?燮n。如果A（w，t）=0对Qk1n的所有元素w，t，我们令Dk（A）=0；否则令Dk（A）等于A（w，t）中所有元素的公因子；Dk（A）表示A的第k个行列式因子。 　　2整数矩阵的填充问题 　　单模矩阵常用来定义整数二次型上的等价关系，一个部分矩阵是指一个矩阵的一些元素已经确定而其它元素需加以确定的矩阵，我们称这些末确定的元素为自由元素。我们也称那些已经确定的元素为已知元素。 　　令A=（aij），是一个n阶方程别且q是一个{1，2，…，n}上的置换，那么n={a1qa （1），a2qa （2），……，anqa （n）}数组被称为矩阵A的一个对角，每个对角都包含A的不同行不同列的一个元素。特别的，{a11，a12，…，ann}被称为A的一个自由对角线，一个部分矩阵的对角的每一个元素如果都是自由的就称这个对角是这个部分矩阵的自由对角，我们用Mr，s（Z）表示所有r×x整数矩阵的集合。对A∈Mr，s（Z），我们用sj（A），j=1，…，rank（A）表示其第j个不变因子。 　　定理：令A为一个方的部分整数矩阵，如果A有一个自由对角，那么A能被填充为一个单模矩阵。 　　证明：我们首先考虑A的主对角是自由对角这种情况，令A=（aij）的阶数为n。我们对n做数学归纳。当n=1时是平凡的；当n=2，令a11=1，a22=a12a21+1，我们有detA=1。现在假设对n-1阶的部分整数矩阵结论成立，我们将证明结论n?叟3阶部分整数矩阵也成立，因此根据假设考虑A′的n-1阶顺序主子阵，A能被填充为一个整数矩阵 　　A′=A1uvtan1n 　　这里A1是一个单模矩阵n-1阶单模矩阵，并且A′和A有同样的最后一行和一列。 　　于是我们得出： 　　det A′=（det A1）（am1n-vtA1-1 u） 　　因为A1是一个单模矩阵，A1-1也是一个单模矩阵，令： 　　am1n=vtA1-1u-1，我们则得出：det A′=detA1=±1。 　　3具有整数特征值的整数矩阵的性质 　　首先考虑n×n整数矩阵A具有整