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测量不确定度评定与表示中 常见概率分布包含因子k值的计算 1 引 言 在测量不确定度评定与表示中，规定标准不确定度用标准偏差来表示。由于实际上只能进行有限次测量，因此只能用样本参数作为总体参数的估计值。即只能用有限次测量的实验标准差s作为无限次测量的标准偏差σ的估计值，这一估计必然会引入误差。当测量次数越少时，实验标准差s的可靠性就越差。为得到对应于同样置信概率的置信区间半宽，即扩展不确定度，必须乘以一个包含因子k值。 包含因子k值主要取决于概率分布，常常因情况的不同而估计不同的概率分布。若输入量x的数学期望为μ，a为x值分布区间的半宽。当x在区间[μ-a, μ+a]内出现的概率小于100%，包含因子k的数值与区间[μ-a, μ+a]所包含的面积占概率分布的总面积的大小有关；当x在区间[μ-a, μ+a]内出现的概率为100%，即x之值全部落于此区间内而在区间外不出现。此时包含因子k值与输入量x的分布有关。因此，在分布确定后，若已知分布的概率密度函数，则可以通过计算直接得到其方差和标准偏差，从而得到对应于该分布的包含因子k值。 2 常见概率分布包含因子k值的计算 2.1 正态（高斯）分布 图1 正态分布 正态分布的概率密度函数p(x)为： 对上式作变换u=，得dx=σdu，故有 = 其中， 关于一般正态分布，以下几个概率是经常用到的。 P (μ-0.676σ≤x＜μ+0.676σ)=0.50 P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6827 P (μ-1.645σ≤x＜μ+1.645σ)=0.90 P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) =0.95 P (μ-2σ≤x＜μ+2σ) =0.9545 P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.99 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) =0.9973 得到正态分布情况下概率与包含因子k值的关系如表1所示。 表1 正态分布情况下概率与包含因子k值的关系 概率p 50% 68.27% 90% 95% 95.45% 99% 99.73% 包含因子k 0.676 1 1.645 1.960 2 2.576 3 2.2 矩形（均匀）分布 图2 矩形（均匀）分布 对于数学期望为μ，分布区间半宽为a的矩形分布的概率密度函数p(x)为： y=p(x)= 其方差为 于是 k= 2.3 三角分布 图3 三角分布 对于分布区间半宽为a的三角分布，其概率密度函数p(x)为： y= p(x)= 其方差为 于是 k= 2.4 梯形分布 对于梯形分布，若其上底和下底之比为β=，b和a分别为上底和下底的半宽。若设梯形的高为h，则由于梯形的面积S应为1，即 S=h×（a+b）=1 故梯形的高h为 h== 图4 梯形分布 于是其概率密度函数可以表示为： y= p(x)= 其方差为 = = = = 于是 k= 2.5 反正弦（U形）分布 图5 反正弦（U形）分布 对于数学期望为μ，分布区间半宽为a的反正弦分布的概率密度函数p(x)为： y=p(x)= 其方差为 于是 k= 3 结束语 对于其他各种概率分布，在分布确定后，只要写出其概率密度函数的解析式，就可以通过计算直接得到其方差和标准偏差，从而得到对应于该分布的包含因子k值。