2011年暑期数模培训讲座-王峰.pptVIP

输油管的优化布置 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C题 问题背景 问题背景 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区(I 区域)，B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a=5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 在城区铺设的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。结果如下表所示： 1.问题分析 在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，不同的情况下，输油管线设计方案不同。 共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过2倍，否则不用共用管线。 本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助平面几何方法来描述。 2.模型假设 （1）两炼油厂分别为A、B，位于铁道线的同侧； （2）铁路是一条直线，P点为车站； （3） 点Q为共用管线与非共用管线的节点； 共用管线费用是非共用管线费用 k倍， （4）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同 设a≤b，交汇点Q(x,y)，管路单价r(万元/千米)，则模型如下： 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同 假设共用管线和非共用管线单价分别为kr(万元/千米)和r (万元/千米)，通常2k≥1，则模型为 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同 问题二 附加费用m(万元/千米)的确定 问题二 设所有管线的铺设费用均相同 题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,r=7.2 题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,p=7.2,r1=5.6,r2=6 若交汇点在城区，类似分析可知结果不是最优的。 * * 王 峰 2011.6.26 2011年暑期数模培训讲座 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 20 24 21 附加费用(万元/千米) 公司三 公司二 公司一 工程咨询公司 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 P Q 目标函数有唯一驻点： 情形1：驻点坐标满足约束条件（2），即： 图1：有共用管线的布置 x y Q 图2：无共用管线的布置 x y 情形3：如果y*0,即： 则无需共用管线，令y*=0。此时图形转为图2.利用对称性，可得： A’ 情形2：如果x*0 或 y*a,即： 则令x*=0或y*=a，代入(1)可得： 此时，Q点与A点重合。 此时，Q点为A’B与铁路的交点。 类似于前面三种情形的讨论，可得如下结果： 目标函数有唯一驻点： 情形4：驻点坐标满足约束条件（4），即下面的不等式(5)成立时： Q 图2：无共用管线的布置 x y 情形6：如果y*0，即： 则无需共用管线，令y*=0。此时与情形3相同，可得： A’ 情形5：如果x*0 或 y*a,即： 则令x*=0或y*=a，代入(3)可得： 此时，Q点为A点。 此时，Q点为A’B与铁路的交点。 m的大小可以按照三家工程咨询公司的估算值做加权平均，设甲级资质权重为k，乙级资质权重为1(k1)，则 P Q 目标函数有唯一驻点： 如果驻点坐标满足 约束条件（10），则： 图3：有附加费用和共用管线的布置 x y T 设管线与I、II区交界处交点为T(c,t)，所有管线的铺设费用单价为r(万元/千米)，则模型如下： 问题二 设所有管线的铺设费用均相同 下面通过数值计算讨论m的影响。 281.4373 7.362 1.851 5.454 21.25 6.0 281.6389 7.363 1.851 5.454 21.29 5.0 281.8405 7.364 1.852 5.45