第4章 稳定与李雅普诺夫方法2.ppt

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法;4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义;平衡状态不一定存在，也不一定唯一。 如： 其平衡状态有： 稳定性是相对于平衡点而言的！;4.1.2 稳定性的几个定义 ;1. Lyapunov意义下的稳定;2. 渐近稳定; 若 ，则称 为大范围(全局)渐近稳定。; 对于某个实数 和任意 ，在超球域 内始终存在状态 ，使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。;此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。;4.2 李雅普诺夫第一法;线性定常系统 ， 在平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。此为状态稳定性，或称内部稳定性。;输出稳定性：如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。BIBO稳定（Bounded Input Bounded Output） ;【例4-1】;设 ， 为平衡点。 将 在 邻域内展成泰勒级数，得 其中;4.2.2 非线性系统的稳定性;4.2.2 非线性系统的稳定性;（3） ，则称 是负定的。;例;例 设;2. 二次型标量函数;二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T， 通过变换 ，使之化为：;矩阵P的符号性质定义如下： 设 P 为n×n实对称阵， 为由 P 决定的二次型函数，则 （1） 正定，则 P 正定矩阵，记为 P0; （2） 负定，则 P 负定矩阵，记为 P0; （3） 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0; （4） 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P≤0;;3、希尔维斯特判据 设实对称阵 为其各阶顺序主子式，即 矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：;(2)若 ，则 P 负定；; 解：二次型 可以写为;4.3 李雅普诺夫第二法;4.3.2 几个稳定性判据;4.3.2 几个稳定性判据;4.3.2 几个稳定性判据;说明： （1） ，则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2） 不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。 （3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！; 解: 显然，原点 是系统平衡点， 取 ，则 又因为当 时，有 ，所以系统在原点处 是大范围渐近稳定的。;【例 4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。 解：线性系统，故 是其唯一平衡点。 将矩阵形式的状态方程展开得到： 取标量函数(李雅谱诺夫函数)： ;另选一个李雅普诺夫函数：;解: 系统具有唯一的平衡点 。取 则 于是知系统在原点处不稳定。 ;4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的； （4）V(x)最简单的形式是二次型 ； （5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息； （6）构造V(x) 需要一定的技巧。;4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用;设线性定常系统为： 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意???定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程： 且 就是李雅普诺夫函数。 证明：略。;说明： （1）一般先取正定矩阵Q，带入李雅谱诺夫方程，求出P，判别P的正定性，从而判断