一般周期函数的判定方法.docVIP

一般周期函数的判定方法周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。1、周期函数的定义及性质定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；（1）对?有（X±T）?；（2）对?有f（X+T）=f（X）则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。例1??常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。狄利克莱函数D（X）=??是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。2、性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]=?f(X)）。因而周期函数必定有正周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……=f（x+T）=?f(X)。当n＜0时，-n＞0，由前证和性质1可得：nT=-（-nT）是f(X)的周期。当n为任意非零整数时命题成立。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）=?f(X)）。（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r?Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对?（f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。T必是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则?（Q是有理数集）证：据条件和性质4知，存在K1、K2??Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，?。（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且?是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。证：若T是f(X)的周期，则nT（n?，n≠0）也是f(X)的周期，?有X±nT?M，M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K?）。例2：f(X)=sinX（?≤10π）不是周期函数。3、周期函数的判定定理1??若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K?f(X)+C（K≠0）和1/?f(X)分别是集M和集｛X/?f(X)?≠0，X?｝上的以T*为最小正周期的周期函数。证：T*是f(X)的周期，对?有X±T*?且f(X+T*)=?f(X)，K?f(X)+C=K?f(X+T*)+C，K?f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。假设T*?不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（?0＜T’＜T*）是K?f(X)+C的周期，则对?，有K?f(X+T’)+C=K?f(X)?+C?K[f(X+T’)-?f(X)]=0，K≠0，f(X+T’)-?f(X)=0，f(X+T’)=?f(X)，T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，T*也是K?f(X)+C的最小正周期。同理可证1/?f(X)是集｛X/?f(X)?≠0，X?｝上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+?b?｝上的以T*/?为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。证：（先证???是f(ax+b)的周期），T*是f(X)的周期，?，有X±T*M，a（X±???）+b=ax+b±T*M，且f[a（X+????）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）是f（ax+b）的周期。再证?????是f（ax+b）的最小正周期假设存在T’（0＜T’＜???）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/XM,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，aT’是f(X)的周期，但?＜?????=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函