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第2讲 判断与命题 应知：命题的四种形式。原命题和逆否命题等价，逆命题和否命题等价。命题中常用的词汇。 应会：判断命题的真假。 一．命题 能够判断真假的语句叫命题。 命题有四种形式： 第一种：若A则B。（不妨看成原命题） 第二种：若B则A。（逆命题） 第三种：若非A则非B。（否命题） 第二种：若非B则非A。（逆否命题） 例如： 对顶角相等。（原命题） 相等的角是对顶角。（逆命题） 不是对顶角不相等。（否命题） 不相等的不是对顶角。（逆否命题） 点评：其中原命题和逆否命题等价，逆命题和否命题等价。所谓等价，就是两个命题要么都成立，要么都不成立。 二．判断 判断就是对思维对象有所断定的思维形式。 从判断的构成来说，判断分为简单判断和复合判断。简单判断也叫直言判断。 简单判断的形式为： S是（或不是）P 复合判断是由几个简单判断构成的。 例.（初三）简单判断 ①所有的三角形的内角和都是180°。 ②平面几何的一部分定理不能推广到空间中去。 ③方程有两个不等实数根。 点评：对于简单判断，从判断的对象来说，其中①是全称判断（注意其中用词“所有的”），②是特称判断（注意其中用词“一部分”），③是单称判断（注意其中是一个具体的方程）；从对象的属性来说，①和③是肯定判断，②是否定判断。 例.（初三）复合判断 ④若，则a=0。 ⑤实数a可能大于零，可能等于零，也可能小于零。 点评：复合判断有两种，其中④是假言判断，其中⑤是选言判断。 备用例：《阅微草堂笔记》中有这么一个故事，有人梦中到了阴朝地府，看见一名官员在阎王面前自称生前为官清廉，所到之处，只饮一杯清水。阎王笑了笑说：“设官是为了兴利除弊，如果不贪钱就是好官，那么在公堂中设一木偶，连水也不用喝，岂不更胜于你？”官员答道：“我虽无功，但总无过吧！”阎王又说：“你处处只求保全自己，对某案某案因避嫌疑而不言，对某事某事因怕麻烦而不办，岂不是负国负民？无功就是过哦！”此官员无言以对。请问，阎王用了那几种形式的判断？ 答案： 设官是为了兴利除弊——简单判断，全称判断，肯定判断。 如果不贪钱就是好官，那么在公堂中设一木偶，连水也不用喝，岂不更胜于你？——复合判断，假言判断。 你处处只求保全自己——简单判断，全称判断，肯定判断。 无功就是过——简单判断，全称判断，肯定判断。 三．原命题和逆否命题等价，另两种命题也等价 利用原命题和逆否命题等价，逆命题和否命题等价的原理可以进行推理。 例.（初三）推理的例。 ①“对顶角相等”这个判断是正确的，那么“不相等的不是对顶角。”这个判断一定是正确的。 ②“相等的角是对顶角”这个判断是错误的，那么“不是对顶角不相等”这个判断一定是错误的。 四．逆命题和原命题不一定等价。 例. (初三) 逆命题和原命题不一定等价的例。 ①若a=b=0，则a+b=0。（a、b为实数） ②一个四边形只有四个角是直角，才可能是正方形。 ③若a=b=0，则。（a、b为实数） 在①中，有条件a=b=0，就足够推出结论a+b=0，但并不是非得要a=b=0不可，因为当a=-b时，也可以得出结论a+b=0。我们把这样的条件称为充分条件。注意①中使用的是“则”。 在②中，要四边形为正方形，非得要条件“四个角是直角” 不可，但是即使有了这个条件，四边形也不一定就是正方形，我们把这样的条件称为必要条件。 在③中，有条件a=b=0，就足够推出结论。而且要成立，还非要条件a=b=0不可，我们把这样的条件称为充要条件。在这种情况下，也可以说“当且仅当a=b=0时，”或“必须且只须a=b=0时，”。 强调：在实际运用中，要判断条件A是结论B的什么条件，只要如下处理： 能从A推出B，点评A是B的充分条件； 能从B推出A，点评A是B的必要条件； 既能从A推出B，也能从B推出A，点评A是B的充要条件。 指出：一个正确的命题，如果它的条件是结论的充要条件，这个命题的逆命题才成立。例如上面例中的③，逆命题“若，则a=b=0”是成立。 五．命题中常用的词汇 在一个题目中，除开使用“当、仅当、当且仅当、必须、只须、必须且只须”之外，还经常使用“或、且、至少、至多、都、不都、都不”。遇到这些词时，要特别小心，不要搞错了它的含义。 1．或 当几个命题，例如A、B、C中至少有一个成立，但至多也只有一个成立时，我们说“A成立或B成立或C成立”。例如“实数a或大于零，或等于零，或小于零”。 2．且 当几个命题，例如A、B，同时成立时，我们说“A成立且B成立”。例如“实数a大于2且不等于5”。 3．至少 例如“当a、b至少有一个为零时成立”实际上包括三层意思： ①a=0时成立； ②b=0时成立； ③a、b都等于零时成立。 4．至多 例如“三角形中至多有一个角是钝角” 实际上包括二层意思： ①有一个钝角； ②没有钝角。 5．不都 “不都