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浅论教育数学与数学教育的关系 ——兼论位置关系数学的新思路 祝宝满 廖云儿* （上饶师范学院 ，江西，上饶，334000） 摘 要：本文运用教育教学的原理和思想，对现行中学数学教材中“异面直线”这一教学难点的“数学教育”处理出发，引申并尝试提出用“远近度”和“倾斜度”这一空间物体位置关系的本质改造位置关系数学的新思路。从而提出正确认识和处理教育数学与数学教育关系的必要性。进而从理论和实践两方面阐述了教育数学与教学教育是既对立又统一的关系。并从“教育数学三原理”出发，研究并提出了用二次函数极值法求解两异面直线距离的方法模式。从而说明了寻找并建立教育数学的哲学基础的理论与实践意义。 关键词：教育数学；数学教育；关系 一、问题的提出 教育数学从张景中院士提出至今，已经得到了越来越多人的承认。不少人也在自觉或不自觉地从事着教育数学的研究和实践活动，这其中很多都是长期从事数学教育的工作者。从一个研究领域进入另一个研究领域，这个中的困难和问题是可想而知的。而正确认识和处理好“教育教学”与“数学教育”的关系，是开展教育数学研究，并使这一新兴学科得以成长、壮大所必须首先解决的一个问题。只有把两者的关系搞清楚，明确了两者的研究对象、研究目标、研究方法等，干起来才会得心应手。 笔者在学习、研究教育数学的过程中，也深感有必要先把这一问题弄清楚。 例如，我们在研究中学立体几何“异面直线”这一教学难点中，就遇到了这一问题。现行中学教材中“异面直线”其定义是指“不同在任何一个平面内，没有公共点的空间两条直线。”然后，通过直观引入异面直线的角，进而引进两条异面直线垂直、两条异面直线的公垂线和两条异面直线的距离。最后不加证明地提出：“对于任意的两条异面直线，它们的公垂线有且仅有一条”的结论。中学数学教学的实践和数学教育的研究都告诉我们，中学生很难建立起异面直线的空间概念。 为解决和突破这个难点，在“数学教学论”的教学中，我们提出了两种教学建议： 一是采用直观演示的方法引入异面直线概念。具体来说，是用两根木棍，先成相交状（建立在学生已有基础知识上），然后平行移动其中一根木棍，这样的两条直线就是异面直线。或者，先把两根木棍摆成平行状，然后，转动其中一根棍子，这样所成的两条直线就是异面直线。通过演示，使学生们很容易建立起了异面在线的空间概念：它们不在同一平面内，它们既不相交也不平行。 另一种是建议从揭示异面直线概念的主要本质进行教学。两条异面直线的本质主要在于“远近度”（可用距离度量）与“倾斜度”（可用角度量）。两条异面直线是有距离的，它不同于两条相交直线（它们的距离为零）；同时，两条异面直线又是有倾斜度的，它不同于两条平行线（它们之间的倾斜度为零）。 细究上面两种教学建议，第二种教学建议已经不是纯粹的“教学法加工”了。或者说，它已经隐含着一种数学的再创造。也就是说，第二种教学建议已不自觉地实践着、逼近着教育教学了。因为，第二种教学建议，紧紧抓住了空间两物体位置关系的本质。我们知道，空间两物体位置关系的本质就在于两物体的“远近度”（或距离）和“倾斜度”（或角）。而远近度和倾斜度是初中学生头脑中容易形成和理解的概念。再用“距离”去度量“远近度”，用“角”去度量“倾斜度”。这符合张景中先生提出的教育数学三原理的第一原理，“从学生头脑中找概念。” 因此，我们可否用“远近度”和“倾斜度”来对位置关系数学来一番改造呢？如果能进行改造，那就属于教育数学范畴，而不属于只进行教学法加工的数学教育了。 在此，笔者尝试着提出这样一种改造的思路，祈请各位专家指正。 对位置关系数学在提出了“远近度”和“倾斜度”概念基础上，首先讲点与点的距离。两点间线段最短，点与点没有倾斜度。第二，讲点与直线的距离。它包括点在直线上（距离为零）和点到直线的距离。点与线也没有倾斜度。第三，讲线与线的距离和倾斜度。线与线没有距离也没有倾斜度，则是两线重合；线与线没有距离但有倾斜度是两线相交；线与线有距离且处处相等，没有倾斜度或倾斜度为零是两线平行；线与线既没有距离又没有倾斜度，这是两条异面直线。第四，讲点与面的距离。点在面上（或距离为零）和点不在面上（有距离），同样点与面没有倾斜度。第五，讲线与面的距离和倾斜度。线与面没有距离，线在平面内；线与面有距离，且处处相等，而倾斜度为零是线面平行；线与面有距离且有倾斜度，线面相交或垂直。最后，讲面与面的距离与倾斜度。面与面没有距离且没有倾斜度是两平面重合；面与面有距离但没有倾斜度是两平面平行；面与面距离为零且有倾斜度是两平面相交。 这样，我们就可用“远近度”和“倾斜度”把空间点、线、面间的关系很直观地展现给学生。空间各种物体的位置关系以及各种位置关系之间所成的角（异面直线所成的角；直线与平面所成的角；平面与平面所成的角）和距离（异面直线间的距离；点与面的距离；