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椭 圆习题精选精讲 （1）第一定义——把椭圆从圆中分离 椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2 【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ） .椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线. 【解析】注意到且故点M只能在线段上运动，即点M的轨迹就是线段，选C. 【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A. （2）勾股数组——椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值. 椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组. 【例2】已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y）， 则A、P、C共线. 连AC、PB，∵ 为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，∴圆心的 轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为： . （3）第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟 如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题. 【例3】已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比例中项. 【解析】由椭圆方程知：. 椭圆的左准线为：.设存在椭圆上一点P（x，y） （x0）符合所设条件.作PH⊥l于H.令 ，则有： .但是 . ∴.又. 这与矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点. ● 通法 特法 妙法 （1）解析法——解析几何存在的理由 解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式. 【例4】点P（x，y）在椭圆上，则的最大值为 （ ） A.1 B.-1 C. D. 【解析】设 方程（1）表示过椭圆上一点P（x，y） 和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时， 最大.将方程（1）代入椭圆方程得： 由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由 .∵k0，∴取，选D. 【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. （2）导数法——把方程与函数链接 由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种. 【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：. 【证明一】（解析法）设所求切线方程为：，代入椭圆方程： .化简得： ∵直线与椭圆相切，∴方程（1）有相等二实根.其判别式△=0，即： . 化简得： ∵点在椭圆上，∴，方程（2）之判别式 . 故方程（2）亦有相等二实根，且其根为： .则切线方程为： .再化简即得：. 【证明二】（导数法）对方程两边取导数： .则切线方程为： .再化简即得：. 【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知 （2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的. （3）几何法——为解析法寻根朔源 减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识. 【例6】（07.湖南文科.9题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解析】如图有，设右准线交x轴于H， ∵ ，选D. 【例7】已知椭圆和圆 总有公共点，则实数的取值范围是 （ ） 【解析】如右图椭圆的中心在原点， 且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆 的圆心为C（a，0）且半径R=1. 显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆 右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a∈，选C. 在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行