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* 等比数列 厦门市第二外国语学校 杨英明 2010.3.16 通项公式 首项、公差(公比)取值有无限制 定　义 等比数列 等差数列 从第二项起，每一项与 它前一项的差都是同一个常数 从第二项起，每一项与 它前一项的比都是同一个常数 没有任何限制 首项、公比都不能为0 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1 复习：等差中项与等比中项. 如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列， 那么A叫做a、b的等差中项. 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列， 那么G叫做a、b的等比中项. 复习： 等差数列通项公式： an=a1+(n-1)d ; an=am+(n-m)d 问题： 类比等差数列，可得等比数列的另一个公式？ 并验证。 an=a1qn-1 an=amqn-m 复习书：P39，5已知： {an}是等差数列 (1) 2a5=a3+a7是否成立吗？ 2a5=a1+a9成立吗？为什么？ （2） 2an=an-1+an+1(n1)是否成立？你能据此得到什么结论？ 2an=an-k+an+k (n＞k＞0).是否成立？你又能得到什么结论？  在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)， 则ak+as=ap+aq. 问题：类比等差数列，可得等比数列的什么性质？ 书：P53，4已知： {an}是等比数列 (1) a52=a3·a7是否成立吗？. a52=a1·a9成立吗？为什么？ （2） an2=an-1·an+1(n1)是否成立？你能据此得到什么结论？ an2=an-k·an+k (n＞k＞0)是否成立？你又能得到什么结论？  (1)设{an}的公比是q，则 a52=(a1q4)2=a12q8, 而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8, 所以a52=a3·a7. 同理,a52=a1·a9. 书：P53，4已知： {an}是等比数列 (1) a52=a3·a7是否成立吗？. a52=a1·a9成立吗？为什么？  (2)用上面的方法不难证明an2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出， an是a n-1和a n+1的等比中项， 同理可证an2=a n-k·an+k(n＞k＞0). an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0). 书：P53，4已知： {an}是等比数列 （2） an2=an-1·an+1(n1)是否成立？你能据此得到什么结论？ an2=an-k·an+k是否成立？你又能得到什么结论？  猜想:对于等比数列{an}， 类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)， 则ak·as=ap·at. 猜想:对于等比数列{an}， 类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)， 则ak·as=ap·at. 证明：设等比数列{an}公比为q， 则有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2, ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2. 因为k+s=p+t, 所以有ak·as=ap·at. 例题1： （1）在等比数列{an}中，已知a1=5, a9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8. （1）在等比数列{an}中，已知a1=5, a9a 10=100,求a 18; 解：∵a1a 18=a9a 10， ∴a 18= =20. (2)在等比数列{bn}中，b4=3， 求该数列前七项之积. 解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b42=b1b7=b2b6=b3b5， ∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. 解：b1b2b3b4b5b6b7 =b1 (b1q)(b1q2)(b1q3)(b1q4)(b1q5)(b1q6) =b17q1+2+3+4+5+6 =b17q21 =(b1q3)7 = b47=37=2187  (3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8. 解：.∵a5是a2与a8的等比中项， ∴542=a8×(-2). ∴a8=-1 458. 书P51例题4：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比 数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出 什么结论？证明你的结论. 自选2 自选1 是 -5×2n-1 例 判断{an·bn} 是否是 等比数列 an·bn bn an 结论：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列， 那么{an