【2017年整理】有限差分法.pptVIP

3.4镜像法;3.4.1平面导体与点电荷 设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半空间中的电场。 ;其边界条件可写成：Z=0处，φ=0 由于无限大导体平面上一点电荷q在上半空间的电场分布与无穷大空间中相距为2h的两等值异号点电荷的电场完全相同，如图所示。因此，无限大导体平面边界可用一个位于（x，y，z－h）的－q来替代，即抽走导体板，在与原点电荷q对称的位置上放置一个镜像电荷－q来代替原导体平面上的感应电荷，则该镜像电荷在空间中任一点产生的电场与感应电荷产生的电场等效。若选无穷远处为零电位点，则有：;将r1和r2的表达式代入上式可得：;角形区域 如直角形区域的边界为两个相交成直角的无限大导体平面并接地，如图所示，在它附近有一点电荷，现来计算此直角形空间内的电位分布φ。 ; 对于以上的原电荷和镜像电荷，从几何关系上不难看出：它们位于一个同心圆上，而且从原电荷开始，无论是绕顺时针还是逆时针走向，相邻的一对互为镜像的电荷大小相等，符号相反，并且最终回到原电荷位置，如图所示; 如果两导体平面相交不成直角，而是成α角时，也必须同上面的情况一样，轮流地找出那些镜像电荷及镜像电荷的镜像，一直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。可以证明：只有当;3.4.2 导体球面与球外点电荷 例：设一个半径为a的接地导体球，在与球心相距d1的P1点有一点电荷q1，如图所示，试求导体球外的电位函数。 ;解：由静电感应原理可知：接地导体球上的感应电荷分布对OP1轴对称且右边密度大于左边密度，则镜像电荷一定位于原电荷与球心的连线OP1上，设镜像电荷q2距球心距离为d2，另外，镜像电荷q2与原电荷q1产生的场在球面上任一点必须满足电位为零的条件。若在球面上任选一点P，则有：;由此可得：;感应电荷与镜像电荷相等 ; 对于线电荷与导体柱面的边值问题，如果用镜像法，其求解方法与点电荷与导体球面的边值问题的求解方法类似。 ; 当电介质分界面为无穷大平面时，如果在其附近放置一点电荷或一线电荷，用镜像的点电荷或镜像的线电荷来等效介质分界面上束缚电荷对电位的影响，这样原边值问题的电位就等于全空间充满与所求区域相同的介质时，原电荷与镜像电荷所产生的电位的迭加。 如图，在Z﹤0的下半部介电常数为ε，上半部为空气，距离介质平面h处有一点电荷q，求Z﹤0和Z﹥0的两部分的电位。;解：半无穷大的介质放在点电荷q的场中被极化，其极化结果为在分界面上出现关于Z轴对称分布的束缚面电荷。因此空间中的电场为点电荷q的电场与这些束缚面电荷的电场的迭加。设Z﹥0空间中电位函数为φ1 ， Z﹤0空间中的电位函; 而对于φ2 ，由于等效束缚面电荷的镜像电荷必须在所求区域之外，可设此镜像电荷q〞就在点电荷q所在的位置上。因此， φ2为点电荷q和镜像电荷q〞在全空间充满介电常数为ε的介质时产生的电位的迭加。如图所示。 ;在Z＝0的介质分界面上，其边界条件为：;总结： 镜像法是用假想的镜像电荷来代替导体上感应电荷或介质分界面上束缚电荷的作用，镜像法的关键是根据边界条件确定镜像电荷的位置及大小。 注意： 1、镜像电荷不能放在要计算电位的区域内，否则，所得电位就不会满足原来的电位方程； 2、电位函数必须满足原来的边界条件。;3.5 有限差分法 有限差分法 ：将求解区域划分为网格，将求解区域内的连续分布的场用网格节点上的离散场值来代替，将边界上连续分布的边界条件用离散的边界条件值来代替，这样我们可将被求解区域中的解微分方程的边值问题用差分方程的迭代求解来代替。 由于有限差分法是通过对被求解区域进行分格，实现了连续场的离散化，因此，有限差分法不仅能用于求解静电场的问题，还能求解任意静态场和时变场问题；不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题。特别要注意的是：不管被求解区域的边界形状如何复杂，只要把网格分得足够的细，都可以得到足够精确的解。 ; 即给定二维区域中的电荷分布和电位在边界上的值，求区域中各点的电位。 ;在节点1 ，X =X0+h ，这一点的电位为 ;同理 ;代入可解得 ; 对于给定的区域和电荷分布，当用网格将区域划分后，对每一个节点我们可以写出一个上述形式的差分方程，于是就可以得到一个方程数与未知电位的网点数相等的线性差分方程组。对于给定的连续边界条件，当用网格将区域划分后，我们可以给出它在边界节点上的离散值。余下的问题就是在已知边界节点电位的条件下，用迭代法求解区域内各节点上的电位。 方程的个数等于区域内的节点数。如果区域划分的网格粗，