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理论力学 理论力学 拉格朗日方程(一) 12 拉格朗日方程 12.1 动力学普遍方程 ■ 动力学普遍方程 考虑由N个质点组成的质点系,对其中每个质点 应用达朗贝尔原理得 F +F －m a = 0 i=1,2, …,N i Ni i i 用δr 点乘上式两边,并对i求和得 i ∑(F +F －m a )·δr = 0 i Ni i i i 如果假设质点系所受的约束是理想约束,则得 ∑(F －m a )·δr = 0 i i i i ∑(F －m a )·δr = 0 i i i i 上式称为动力学普遍方程(general equation of dynamics),或达朗贝尔原理的拉格朗日形式 (Lagrange’s form of d ’Alembert’s principle) 。 ■ 广义力 若加在系统上有l个完整约束,则可取n=3N －l个 独立变量q , q , …, q 为广义坐标,系统中各质点的 1 2 n 矢径均可表示为q , q , …, q 和时间t的函数: 1 2 n r = r (q , q , …, q ,t) i=1,2, … ,N i i 1 2 n 于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为 n ∂r δr ∑ i δq i=1,2, …,N i s 1 ∂qs s δW ∑F • δr i i i N n ∂r n N ∂r δW F • ( i δq ) ( F • i )δq ∑ ∑ ∑∑ i s i s i 1 s 1 ∂qs s 1 i 1 ∂qs 定义 N ∂r Qs ∑Fi • i i 1 ∂qs 称为质点系对应于广义坐标q 的广义力 s (generalized force) 。于是 δW ∑F • δr ∑Q δq i i s s i