C5稳定性.pptVIP

* 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 几点说明： 1) 对于同一个系统(不论它是线性的，还是非线性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使 负定或半负定的V(x)（正定），则按照上述判据即知系统稳定性情况。 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 2) 即使找不到使V(x)正定， 负定的V(x)，也不能说明该系统是不稳定的，而只是你没有找到而已，当然若找到了符合条件（3）的V(x)则可证明系统不稳定，找不到符合上面1）、2）、3）的V(x)不能下结论。 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 3) 对于 ，则 ，这意味着运动 将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原 点，这相当于极限环或者临界稳定。 4) 若 ，这时运动轨迹只在某一时刻与 某特定曲面 相切，运动轨迹通过切点后 会继续向原点收敛，因此此情况的属于渐进稳定。 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 例：已知系统状态方程为： 试分析系统平衡状态的稳定性，(线性系统的稳定性只与A有关，与控制和输出无关)。 解：（1）求平衡状态： （2）选取李雅普诺夫函数V(x), （多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V(x)） * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) (3) 求 可见只要 就有 成立。 下面需要讨论当 成立否 若 状态方程 已知条件 矛盾 可见 不可能成立，∴该系统是渐进稳定。 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 另选一个李氏函数 ，再判断前面这道例题的稳定性问题。 (4) 判断大范围渐进稳定性 大范围渐进稳定性 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 系统的运动方程： 取m=1时，系统的方程为 取x1=x（位移），x2= 系统的状态方程为： 系统的能量为：V(x)=F(x1，x2)= * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ∴ 半负定。 系统在x=0处大范围渐进稳定的 此系统位移不为零时，速度也不为零。所以在系统运动轨迹上 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 例：已知非线性状态方程，试判别系统的稳定性。 解：①求平衡状态 由 得 是唯一解 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * ③求 ，因此该 系统是渐进稳定的。 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ②取 当 ∴ 是大范围渐进稳定的。 例：设系统状态方程如下，试判定其稳定性。 解：①求平衡点 ②取 * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ③求 ④稳定性分析 几点说明： 1) 李氏稳定判定方法的关键是找v(x)，但并没有提供找v(x)的方法； * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 4）由于构造v(x)较难，因此实际上李氏判据主要用于其他方法无法判定的情况。我们则主要掌握对线性系统的判定。 3）v(x)函数只提供了系统在 附近的稳定情况，域 外情况由 的情况来延伸。 2) 对于一个给定系统v(x)的选取一般不是唯一的，但并不影响结论的一致性； * 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 * 5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 一：线性定常连续系统渐进稳定性判据 为渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必定存在正定的实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程。 定理：设线性定常系统为 （A，B，C）则平衡状态 并且: 是系统的李雅普诺夫函数