2极限与连续.pptVIP

微积分初步 孙平制作 数学基础教程 孙平制作 第 2 章 极 限 与 连 续 主 讲：孙 平 教学目的： ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件。 ⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即 ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。 　 ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 教学重点： 1、函数极限（特别是“ ”、“ ”型） 2、两个重要极限的计算； 3、无穷大、无穷小的概念、性质和关系。 教学难点： 点连续及间断点的判断。 一、主要内容归纳： （一）函数极限 1、数列极限 按一定规律排列的一串数 称为数列，记为 。第n项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数，即 （n=1,2,3……） 讨论n无限增大时 的变化趋势： 数列极限定义： 一数列 ，若当n无限增大时， 无限趋近某个固定常数A，则称当n趋于无穷时，数列 以A为极限。 记为 2、函数极限 定义：函数 ，若当 趋近于○时，函数 趋近一个确定的常数A，则称当 趋于○时，函数 以A为极限。记为 注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义， 缺一不可； 2、极限过程x→○是指 x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞中的一种。 3、极限存在的充要条件 例、设函数 求x=0点的左右极限，并判断在x=0点是否存在极限 因为在x=0处左右极限不相等，所以在x=0处极限不存在 解： 4、无穷小量与无穷大量 以零为极限的称为无穷小量； 绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。 无穷小量与无穷大量的关系是： 无穷小量的重要性质： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 如 当 时， 是无穷小量 5、极限的四则运算 对某一极限过程x→○， 若limu＝A，limv＝B，则有： 1、lim(u±v) ＝limu±limv＝A±B； 2、lim(u·v) ＝limu·limv＝AB 若v＝c (c是常量)，有lim(cu) ＝climu＝cA； 3、 推论：①、limun＝(limu)n ＝An （n为自然数） ②、lim （n为自然数） ③、limC＝C （C是常数） 两个重要极限推广形式 或 注：这里教材中相应公式原来x的位置，统统被“（）”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。 （二）连续与间断 1、点连续 在点连续的这一定义中，以下三个条件要同时满足： ⑴、f(x)在点x0的某一邻域有定义； ⑵、f(x)在点x0有极限； ⑶、f(x)在点x0的极限值等于函数值。 2、间断点 函数的不连续点称为间断点 例：求下列函数的间断点 1、 2、 3、 微积分初步 孙平制作