重积分的习题课.pptVIP

例1 解: X-型 二、典型例题 例2 解: 先去掉绝对值符号，如图 例3 解: 例4 解: 例5 解: 例6 证: 例7 解: 例8 解: 利用球面坐标 例９ 解: 例10 证: 思路：从改变积分次序入手． 例11. 把积分 化为三次积分, 其中?由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . 例12. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 连续, 所以 例13. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 例15. 计算二重积分 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把与D 分成 作辅助线 (2) 提示: 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 例16. 如图所示 交换下列二次积分的顺序: 解: 例17. 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 其中 例18. 证明 证:左端 = 右端 例19. 设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, (03考研) 解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得 (2) 问题转化为证 即证 故有 因此 t 0 时, 因 利用“先二后一”计算. 例20. 试计算椭球体 的体积 V. 解法1： *解法2 利用三重积分换元法. 令 则 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 证明： 另法： 利用柯西-施瓦茨不等式，得 解： 解： 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 形心坐标 第十章 重积分习题课 Hw:p226 1(2),2(4,9),3(5,6). 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 2. 选择易计算的积分次序 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法 二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用重积分换元公式 如果 D 关于 y 轴对称，则 (1)若 f (x , y) 关于 x 是奇函数，则 I = 0； (2)若 f (x , y) 关于 x 是偶函数，则 2. 如果 D 关于 x 轴对称，则 (1)若 f (x , y) 关于 y 是奇函数，则 I = 0； (2)若 f (x , y) 关于 y 是偶函数，则 利用积分域和被积函数的对称性简化二重积分的计算可归纳为下面几种情形： 3. 如果 D 关于原点对称，则 4. 如果 D 关于直线 y= x 对称，则 5. 如果 D1、 D2 两个区域关于直线 y= x 对称，则 如果 Ω 关于 xoy （或yoz，或 zox）面对称， (1)若 f (x , y , z) 关于 z （或x，或 y）是奇函数，则 (2)若 f (x , y , z) 关于 z （或x，或 y）是偶函数，则 三重积分的对称性也有类似情形： 2. 如果 Ω 关于原点对称，则 3. 如果 Ω关于平面 y= x 对称，则 4. 如果 Ω1、Ω2 两个区域关于平面 y= x 对称，则 同理，如果 Ω关于平面 y= z 及 z= x 对称，有类似的性质。 同理，如果Ω1、Ω2 两个区域关于平面 y= z 及 z= x 对称，也有类似的性质。 三、重积分的应用 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 ; 质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面 3. 其它方面 解： 分析： 解： 解： 解： 解： 解： 分析： 解： 解： 解： 解： 解：