线性代数42.pptVIP

* * 1、齐次方程组 2、非齐次方程组 §4.2 线性代数方程组的解 利用矩阵的概念可理性地描述一般齐次方程组的通解以及非齐次方程组相容的条件及相容代数方程组解的结构 齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是线性方程组的理论基础, 它们在实际应用与研究上都十分重要, 必须熟练掌握. 一个存在解的线性代数方程组称为是相容的,否则就是不相容或矛盾方程组. 1、齐次方程组的解的结构与性质 设有m×n齐次线性方程组 若记它的矩阵形式为 一定有零解，总相容 问题 对齐次方程组，在何种情况下有非平凡解，以及怎样表示出其所有的解？ 定理 m×n齐次线性方程组存在非平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩小于未知数个数，即 r(A) ＜n，且在能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数. 说明 齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解. 例 求3×4齐次方程组的解 解 对系数矩阵施行初等行变换 故 r(A)=2, 又n=4, 方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数. 与原方程组同解的方程组 根据 则方程组的通解为 c1和c2为两个任意常数 称非零解向量 构成该方程组的基础解系 2、非齐次方程组 一般m ? n非齐次线性代数方程组的矩阵-向量形式为 矩阵Am ? n为系数矩阵，分块矩阵 与之具有相同系数矩阵的方程组 为增广矩阵， 为其对应齐次方程组(也称为导出组). 非齐次方程组不一定有解，而有重要的相容性定理 定理 对非齐次方程组 (1) 当 时，方程组相容，即有解.具体为 若 方程组有无限多个解，其通解式中 的相容性,有如下结论： 若 则方程组有惟一确定的解. 带有n-r(A)个任意常数. 当 (2) 时，方程组不相容，即无解. （n 表示未知数的个数） 方法 判定 ，只需对增广矩阵实施初等行变换至行阶梯型矩阵即可看出 例 求解非齐次线性方程组 解 增广矩阵 r(A) = 2，r(A, b) = 3 ， r(A) r(A, b)， 第 3 行对应的方程是 0 = 2，产生矛盾， 故原线性方程组无解． 例 求解非齐次线性方程组 解 增广矩阵 r(A) = r(A, b) = 4（未知数的个数）， 故原线性方程组有唯一解． x1 = 3，x2 = ?4，x3 = ? 1，x4 = 1． 例 求解非齐次线性方程组 解 增广矩阵 r(A) = r(A, b) = 3 4（未知数的个数） 故原线性方程组有无穷多解． 解 得与原方程组同解的方程组 取x3作自由变量，则 令x3 = c， 则其通解为 例 设有线性方程组 问l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解． 解1 对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵． 分析 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取什么值时，第2、3行是非零行． 在第2、3行中，有5处地方出现了l ，要使这5个元素等于零， l =0，3，?3，1 ． 实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手． 证明 对m ? n的系数矩阵A,可建立标准形分解 A=PNQ,其中P,Q分别是m阶、n阶的满秩矩阵,于是 方程组Ax=0,可写成PNQx=0 ,若记 Qx= y(y是与x为 一一对应的n维向量,因有x=Q-1y)则可将 Ax=0写成 PNy=0,即Ny=0. 必要性 用反证法,设r(A)=N,且Ax=0有平凡解. 此时必有m≥n,且A的标准形为 设Ax=0的某个非平凡解为x0 (x0 ≠0, 但是Ax0=0), 于 是可记 Qx0 (≠0)为y0. 这样,就导致矛盾的结论y0 =0. 解,则必有 r(A)n. 充分性 若 r(A)=rn,则A的标准形为 故若Ax=0有非平凡 由于Ax0=0,故P-1Ax0=0,但又有 于是Ny=0即为 可以看出yr+1 ,…, yn是可取任意值的，每适当指定 其一组值，就可以得到 Ny=0的一个解,故称 第r(A)个元 为Ny=0的一般解，即通解. 就是Ax=0的一般解,即通解. 能取任意的n-r(A)个常数，方程组每个具体的解， 都可适当指定这些任意常数的取值，而从这通解式 中得到. 对应的 其中yr+1 ,…, yn可看作 证毕