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一个数学系学生的数学哲学 数学学院 201220190 魏斌 数学究竟是什么？古来不同人有不同的见解。恩格斯把数学归纳为“研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。然而时代的发展渐渐扩展了数学的范畴。集合论、抽象代数理论、数理逻辑、对策论、运筹学，拓扑学，神经网络等等近代数学理论，很难被划为是研究数的还是研究形的。而近代数学广泛的与各种学科，诸如生物、经济、计算机等，所结合而产生的各种交叉学科，更难以简单的归入数或形的范畴。 按当今的公理理论系统，数学家普遍赞同的对数学的理解是（当然还不是一个标准的定义）：数学是建立在一系列公理基础上，通过严密的逻辑和推理，所得到的结果的理论体系。然而在这一理解/定义，似乎过于注重数学的结论和数学的表现形式，而忽视了数学对于个人思想上的反映和作用。 在我看来，数学是一种严密的哲学体系，甚至可以说是一种宗教体系。一如基督教徒对耶稣的崇拜和信仰，数学家对他们所追求事业奉若神明。这种对数和数学的崇拜最显著的体现在Pythagoras学派中。在这个学派里，数学就是神，是创造万物的上帝，而Pythagoras则是神子，是神在这个世界的代言人和先知。Pythagoras学派试图用数学去解释万物：1被看作是万物的起始；2是第一个偶数，是和谐的象征；3是第一个奇数，是冲突的象征；4则是第一个（1以外的）平方数，象征了完美。Pythagoras学派试图用这四个基本的数去解释其他的数和整个世界：1、2、3、4象征了风、水、火、土四种元素，进而组成了世界；10是4个数的和，因而象征了整个世界；5是2与3的和，因而象征了婚姻；正五边形的对角线与边长之比构成黄金分割，成为世上所有美的根源；…。 当然，Pythagoras学派的形而上学的哲学理论最终被严密的数学客观理性世界所击溃。但对数学的崇拜仍然存在于数学家的思想中。当Pythagoras学派的哲学体系随着第一次数学危机的爆发而轰然倒塌时，数学家仍然对其信仰的神——对客观世界的严密性解释而追求。“证明是一个偶像,数学家在这个偶像前折磨自己。” A.Eddington如是说。三次数学危机，恰恰反映了数学家对严密的崇拜——因为崇拜，所以不允许其有缺陷。“数学家就是讨厌制造错误的命题。” 数学家仍然试图用数学去解释世界，一如他们在Pythagoras时代所做的那样，近代的Leibniz提出了二进制数学，以及这种简易型的数理精神在当代数字化革命中扮演的中心角色。这种改变人类生存方式的简易数理依然是形而上学的。也就是说，它依然是在用一套人工符号的超越框架来规范人生，而不是“道法自然”。只不过，它在两千年的概念形而上学之后又回复到了Pythagoras，让我们又一次感到“数是万物的本原”的深刻而又令人战栗的力量。 尤其是在近现代科技大爆发时，数学家对世界的解释更加客观和理性化，但也更加广泛。于是，数学被广泛的运用至各个科技领域。首先是在物理学方面，Newton经典的方程F=ma掀开了数学家寻求客观世界的数学解释的崭新一页。既而数学渐渐成为各种科学的工具乃至基础：微分方程作为反映系统微观机理的工具被应用到化学中；对DNA螺旋结构的预测使生物学渐渐与数学信息理论靠拢而产生生物数学；博弈论在令数学家John Nash获得诺贝尔经济学奖的同时也奠定了其在现代经济学中的基础地位。无论在遥远的宇宙，还是在临近的微小分子，世界总在数学家语言的界定和安排中运转。 数学的完备美和严谨美也受到来自其自身和外界的挑战。混沌系统的发现在很大程度上使人们重新审视数学的预测能力，G?del的不完备性定理则在本质上打击了数学家对万能的数学体系的信任。另一个严峻的挑战则是来自物理学界，量子物理中的测不准原理预示着数学的确定性的不可充分获得。然而数学更倾向于接受这些挑战，并通过人类的智慧去充分理解这些与其曾经的判断标准相左的结果。渐渐的，这种不完备，也被作为数学的完备而严谨的思辩过程，而被接纳到数学的体系中。 数学对其本身的思索，引发了一次又一次危机，但数学也正是在对这种危机的解决中不断完善自己的理论体系。第一次数学危机的解决完善了人们对数的认识，第二次数学危机使人们更清晰的了解了无穷的本质。虽然第三次数学危机还没有一个统一的，令数学家们都信服的完美解决方案，但试图解决它的所有已有的努力，都一次次令人们对集合和逻辑的本质有了更深刻的刻画，也使人们能够自信的预见到更多的对集合逻辑的认识。 数学与哲学总是紧密的联系在一起的。从第一次数学危机时数学家和哲学家身份的重叠，到第二次数学危机时数学家和哲学家的论战，再到第三次数学危机时数学家和哲学家讨论的交相辉映，数学与哲学总是有千思万缕的联系。 数学作为一门自然科学，之所以与诸如物理、化学、生物等其他学科不同，而广泛且紧密的与哲学相联系，是因为与物理、化学、生物等学科单纯的