线性代数中的摄动法.pdfVIP

Vol.10.No.4 高等数学研究 JUl.。2007 STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS 线性代数中的摄动法’ 孟道骥 王立云 (南开大学数学科学学院 天津 300071) 摘 要 ，摄动法源于天体力学研究中解决含有小参数的微分方程组方法.利用一般数域上的多项式理论，避 开极限，连续性等基础理论，可将摄动法的思想方法加以改造移植，应用到一般数域上的线性空间理论与矩阵论 中，从而获得线性代数中的摄动法. 关健词 线性代数;摄动法;多项式. 中图分类号 0151.2 1 摄动法 摄动法或扰动法(perturbationmethod)和摄动理论或扰动理论首先是在天体力学的研究中提 出的方法.用常微分方程的语言来说，其思想就在于用精确解的微分方程组逐次近似地描述所研 究的微分方程组.这里所研究的微分方程组常见的是含有小参数。的微分方程组 d x ︼ 一 - (1.1) d t F(x,t,e)， I 其中x=(x1,x2,...,x),F=(FF2,’二，F).当。二0时，微分方程组 dx 。， 。、 (1.2) 一二一 = r l工 ，t，V声， dt 有精确解，如何用(1.2)的解来求((1.1)在￡很小时的近似解，就是摄动法. 摄动法是常微分方程中的一种重要方法和理论.当然，这种方法和理论不仅在常微分方程中 有很多应用，而且在物理学中也有很多应用. 研究一个振动系统(例如由(1.2)描写)受到微小的扰动后(例如由(1.1)描写)的情况，用反 映扰动前系统的线性算子的特征值问题的解，求出反映经过扰动后算子特征值问题的近似解，这就 是线性算子的扰动理论:在量子力学中称为“微扰理论”.这种方法或理论在量子散射理论和量子 场论中均有重要意义. 将这种思想移植到线性代数，特别是矩阵理论中，再加以改造，就是线性代数中的摄动法.在 大学本科的高等代数或线性代数的教学中虽然涉及到摄动法很少，但是了解此类方法，特别是如何 移植、改造这类方法，是很有好处的。本文欲就摄动法与大家探讨. 2 摄动法应用实例 以I。表示实数域或复数域F上的k阶单位矩阵.设A是F上的mXn阶矩阵(即m行，n列的 矩阵，也表示为AEF}).矩阵计算中摄动法常与打洞技巧一起用. 例 1 设A,B,C,DEF0x，且AC=CA.试证 IA B =!AD一CBI. (2.1) C D 证明 如果A是可逆的，用打洞法容易证明(2.1)式.但现在并不知道A是否可逆，此时可用 摄动法.令A(A)=Al.+A，其中A为一实参数.则detA(A)是A的n次多项式且连续.由AC=CA, 有A(B)C=CAGO.若detA(A)=*-0，则A(A)可逆，且有 .收稿日期,2005一04一01. 万方数据 24