耦合mKP流的分解和直化.pdfVIP

目 录 肛 引言 … … ，… … 1 卯 祸 合 m K P 方 程 的 1+l 维分解 … … ，… … 4 笋 K N 族 … … ，… … 6 弘 一个 具有 Lic-Po isson 结构 的有 限维 H am itlon 系统 … … ，… … 8 肪 K N 族 和祸 合 m K P 方程 的有 限维分 解 .， … … 14 如 A bcl一Jacobi坐 标 和流 的直化 … … 18 参 考 文 献 … … 。..… ，… … 22 致 谢 … … ，… … ，… … 24 愁i 引言 随着科学 的发展 ，人 们发现在 客观世界 占统 治地位 的是非线性现象 ，因而人 们对 非线 性 科学研 究投入 了极 大 的热情 . 孤 立子理论及 其联 系 的可积 系统是 非线性 科 学 的重 要 分 支 ，许多科学领域如流体力学 、等离子体物理 、非线性 光学 、凝聚态物理 、超 导物理 、经 典场论和量子场论 等都包含 着和孤 子理 论密切相 关 的 问题 ，利用孤子理 论 已经成 功地 解 释 了物理 上长期 用经典理论 未 能得 到解 答 的现象 . 随着对 孤 立 子物 理 问题 的深 入 研 究 ，孤立 子 的数学理 论也应 运而 生 ，并 已初 步 形成 了 比较完整 的理 论体 系. 对 孤 子 方程 ，近 年来 已经有许 多求解 的方法 ，例 如反 散射 方 法 、 D arboux 变换法 、B 往cklund 变换 法 、代数几何法 、H irota 双线性方法 、非线性 化方法 、代 数 曲线方法 等 . 这些方法 涉及 到经 典分析和泛 函分析 、微 分方程和动力 系统 、李 群 、李代 数和无 穷维代 数 、微分 几何 、拓 扑学 、椭 圆函数 、代 数 几何 及计算数学等诸 多数 学分 支 . 它们的发现和应用 ，不仅使得过去难 以求解 的非线性偏微分方程得 已成功求解 ，而且不断 发现许 多非线性 方程 的具有 重 要 意 义 的新解 . 20 世 纪 60 年代 以来 ，从 高维 可积 系统 向低维 可积 系统 的转化越来越 引起 人 们 的关 注 ， 也 即从 一个 高维 可积 系统 ，通 过 一个 合 理 的约束 可 以得 到低 维可积 系统 ，继 而通 过 求解 低 维 可积 系统 可 以相 应地得 到 高维 系统 的解 . L 。 对 的非线性 化方法 l【一4}是解 决这 一类 问 题 的一种 比较 系统 的方法 . 这种 方 法 最早 发源 于 J.M oscr阎 关于有 限带位 势 的 Schr浏 ingcr 方程导 出历史 上 的 C .N eum ann 系统 的研 究. 曹策 问教 授在 80 年代后期基 于对 Sclrl闭illgcr 方程谱 问题 的认识进 一步 系统提 出孤子方程对 应 L ax 对 的非线性化技巧 !6一12} ，成 功 的得 到 了许 多有 限维可积 系统 . 它可 以把 高维方程分解成相容 的有 限维 H am ilton 系统 ，继而 借助 于分解 可 以得 到孤子解 和 代 数 几何解 !13一lsj . 本 文 建 立 在 著 名 的 K N 方 程 族 !l0j 和 Lcnard 谱 问题 的非线性 化 的基础 上 ，提 出 了两 个 新 的具 有 三 个 位 势 的 2十l 维祸 合 m K P 方程 : 从切r t 少、.了!、 去[。二，二+ 3心 ’。。，一3。公 ’。。一叠。2。二一3(二)，+ 3(二二一r。一、:)x]， 丢[一21)了了二一61)了，一6q巧 一6叽 二一302几 一彻Zr二一3(成 ’。。+ ，叭+ 告，。2)x]， (l ·l) 羞!一2r二二+ 6rx 、一6tlr。十匆。二一对 。一3rz p二一sr(公 ’q。一rq二+ 盖rq “)二!， 和 。 去防二二一会护。一登qx公 。‘。+3 公 物‘l， Pt 羞!一2Pz 二二一机 ，+ 3Px 公 如‘+3 俩2一Zp升)二十登。2、+ 匆pZ二1， (1.2)