耦合KdV方程族及其双哈密顿结构.pdfVIP

目 录 J 二 二J 一 己I佳旨 非 线性 发展方程族 .… … bi一H am ilto。结 构与可 积 性 一 参 考 文献 … … ， … … 16 致 谢 . J 二 二J 一 己 !.台 孤 立子 又称孤 立 波 ，它是 指 一大类 非线性 偏 微分 方程 的许 多具 有 特 殊性 的解 以及 与 其相应 的物理现象 . 孤 立波是英 国科学家 R usscn 于 1834 年在 爱丁堡 到克拉斯哥 的运河 上 发 现 的. 他在 1844 年英 国科学促进会第 十 四届会议上做 的报 告 中，记述 了 1834 年观察 到 的奇特 的水波现象 ，由此 引入 了孤立波 的概念 . 并进 一步提 出这 种孤 立 的波动实 际上是流 体 力学方程 的一个 稳 定解 . 由于受到 当时 的科 学理论及数学水平 的限制 ， R ussen 的学说 并未能使 当时的物理学家信服 . 直到 1895 年 ，瑞典数学家 K ovtewe g 指导他 的学生 de vr ics 写 了一篇博士论文 ，导 出 了著名 的 K dy 方程 ，解释 了 R ussen 观察 到 的现象 ，为后来分析 孤立 波奠定 了基础 . 1960 年 ，C arden 和 M orih Lwa 在研 究无碰撞 磁 流波 的过程 中，再次发 现 了 K dy 方 程 ，此后 ， K dy 方程在不 同的背景 中不 断 的出现 ，从 而激起 人 们对 K dy 方 程 的研 究兴趣 . 如今 ， K dy 方程 已被看作是数学物理基本方程 . 孤 立子理论在 流 体 力 学 ，激光物理 ，经典 场 论 ，生物 学 ，非线性 光 学等方 面 有着 广泛 的应 用 . 在 许 多科 学领 域 又存 在 着孤立 子 以及 孤 立子理论 密切 相 关 的 问题 ，比如 ，天 上 涡 旋 的密度 波 ，光 纤 中光 的传 播 ，磁学 以及 基 本 粒 子 等都 与孤 立 子 休 戚 相 关 . 孤 立子 理 论 的 发 展 已经使许 多物理上 长期用经典理论未 能得 到解答 的现象得 到 圆满 的解释 . 在应 用上 ， 利用孤立子来 改进 引号传播 系统 ，提高其传输率等也取得 了巨大 的进 展 . 随着孤 立子物理 问题 的研 究不断深 入 ，孤 立 子 的数学物理理 论 也应 运 而 生 . 孤 立 子 理 论 作 为数学和物 理 的 交 叉 学科 ，是非 线性 科 学 的一个重要方 向。它反 应 的一类 非常 稳定 的 自然 现象 ，如江 河 中 某 一类 水波 ，光纤 中光 信 号 传播 等 ，也体 现 了一 大类 非线性 相 互 作 用 的若 干特 征 ，为许 多 实 际 问题 的解 决提供 了启示 . 孤 立子理论还 为 非 线性 偏微分方 程提 供 了求 显示解 的方法 ， 因而 受到数 学界和 物 理 界 的充分重视 . 孤 立子 的发展 历程 简要 概括 为 : 2alllsky 和 K rllskal对 K dy 方程解 的孤子性 的发现 ; G ar，cl1c1r ， G-Iccn ， lri tslhal和 M inra 对 K dV 方程求解 的反散 射 方 法 的开 创性 工作 ; L ax 关 于 K dV 方程 L ax 对 的理 论 和 推 广 ; zakharov ， sllabat ， A b low itz ， K ruskal ， N ew el- 和 Scgur 关于矩 阵形 式 的 L ax 对 及 反 散 射 方 法 的推 广 ，都 为孤 立 子 理 论 的发 展 起 到 了关 键 的作 用 。 在 孤 立 子 理 论 中 ，随着 非 线性 的 日趋 完 善 ，非 线性 科 学 已经 蓬 勃 发 展 于 各 个 研 究领 域而成 为研 究 的焦 点 . 在非线性 科 学领域 中，孤 子理 论在 自然科学 的各个领域 是非常重要 的角色 !1]. 孤子理论一方面在数学 ，物理 ，生物 学 ，化学等各 自然领域得 到 了广泛 的应 用 !l，2]，另一方面极大 的促进 了一些传统数学理论 的发展 []s . 19 世 纪庞加莱等人 已经 指 出三体 问题 不可积 ，并意识到许 多 H am i