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第三章 量子力学初步 经典的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化），即算符时，应注意 和 对经典是一样的， 但对量子力学而言是不同的 。 P态电子（ ）： d态电子（l=2）： 一维自由粒子的含时薛定谔方程 有势力场中粒子的总能量为： 将 和 代入上式得 和 势场中一维运动粒子的薛定谔方程 在势场中，作三维运动粒子薛定谔方程为： (拉普拉斯算符) (哈密顿算符) 或记成 其中 除了位置和动量以外，其中一类以坐标为函数 的力学量，其量子力学所对应的算符形式不变。 如势能 和作用力 。 经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学 中的算符形式： 另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学 所对应的算符可用动量的对应关系得出，例如 动能算符的表达式： 2、代表力学量的算符 _ 3、定态薛定谔方程 如势函数不是时间的函数，即 代入薛定谔方程得： 用分离变量法将波函数写为： 则 和 这就是定态薛定谔方程 定态: 能量取确定值的状态 与时间无关 定态波函数 对自由粒子波函数， 则 U→∞ x 一维无限深势阱 （potential well） 例1 一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数 在势阱内:受力为零,自由运动,势能为零 在势阱外:势能为无穷大 a ? ? 定态薛定谔方程： 阱外： 阱内： 根据波函数有限的条件： (为了方便将波函数脚标去掉)，令： 通解： 在势阱外(x≤0,x≥a)由于势壁无限高，从物理上考虑，粒子是不会出现在该区域内的。按照波函数的标准条件(连续性条件)，阱壁上和阱外的波函数应为零。 式中A和B为待定常数。 ，( ？) 表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。 根据波函数的标准条件，波函数应连续， ? 时， 当 波函数的归一化： ? 能量是量子化的 2 2 h E a n K m p = = 最低能量不为零 n 趋于无穷时 能量趋于连续 一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度 o a a o a/2 ? ? -a/2 一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度 o a/2 a/2 o -a/2 -a/2 有一粒子，其质量为m，在一个三维势箱中运动。 势箱的长a、宽b、高c； 在势箱外，势能 ；在势箱内，势能 。 三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。 粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。 例2、 隧道效应及势垒贯穿 势垒 0 a U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ区 U ( x ) = 0 x ≥ a Ⅰ区 U ( x ) = 0 x ≤ 0 Ⅱ区 U ( x ) = U0 0≤ x ≤ a E Ⅰ Ⅲ 经典：粒子动能 E U0时，粒子不能越过势垒Ⅱ区而 到达Ⅲ区。或者说，在Ⅱ、Ⅲ区域发现粒子的 几率为零。 粒子动能 E 〉 U0时，粒子全部进入Ⅲ区域。 设三个区域的波函数分别为 在各区域薛定谔方程分别为 令 为实数 解为： 三个区域中波函数的情况如图所示： 隧道效应 在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒. 此现象称为隧道效应。 贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比： 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进( ) 讨论: (1) E U0 , 即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。 0 a U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ E (2) E U0 , T≠0, 即粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应，它是粒子波动性的表现。 隧道效应的应用：扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） 1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了 隧道效应。电子利用隧穿本领从探针越过势垒到达待测材料表面，形成隧道电流，记录这种电流可以获得表面状态的信息。 隧道电流i d 探针 样品 A B U STM 结构原理示意图 隧道电流I与样品和针尖间的距离d关系敏感: A—常量，U—样品与针尖间的微小电