固体物理第五章_晶体的能带理论.ppt

谐振子的能量为 ?c=eB/m是回旋频率 谐振子的能量 有效质量不同于惯性质量，它与电子所处的状态有关，与能带结构有关。讨论一维近自由电子近似第1能带的有效质量与k的关系。 思考题： §5.9 等能面 能态密度 一、等能面 E 1 2 3 原子 晶体 在原子中电子本征态形成一系列分裂能级，可以标明各能级的能量，说明它们的分布情况 在固体中电子能级异常密集，标明其中每个能级已没有意义，如何研究？ E E+dE 多少个能态？ 能态密度 等能面：k空间内，电子能量等于定值的曲面。 0K时电子将能量区间O－EF0 占满， EF0为费米能。 能量EF0的等能面称为费米面 费米半径 EF0 kF 0K 自由电子的能量为 其等能面为一个个同心球面。 例：自由电子的等能面 1、 定义 费米面（等能面）：波矢空间内占有电子与未占有电子区域分界面。 布洛赫电子在布里渊区边界能带不连续，出现禁带。 2、问题：布洛赫电子等能面有何特点？ 近自由电子能带 E 2 4 1 3 0 （1）波矢空间内电子的能量具有周期性 普遍地，晶体中电子的能量在波矢空间内是倒格矢的周期函数 一维晶格近自由电子能带 E 0 周期性、反演对称性 3、电子能带的基本特点 证明：设波矢k和?k波函数分别为?k(r)和?-k(r)。 （2）波矢空间内电子的能量具有反演对称性 对第三式两端左乘?k(r)并积分得 厄密算符 需证明 （布洛赫波函数为一系列平面波的线性组合） 证明 平面波分量 的系数 = 4、等能面在布里渊区边界上的特点 电子的波矢落在布里渊区边界上时，波矢满足的方程为 布里渊区边界 A的反演对称点 B的反演对称点 ?Kn Kn A B C D O k 布里渊区边界与波矢k （1）边界的认识 B点与A点的关系是 （2）二维平面内，两对称平行的布里渊区边界最多有四点(k = ?Kn/2时，退化成两点)与等能线相交。 -Kn Kn A B C D O k A? C? A点能带的梯度 设m和n分别为平行于和垂直于布里渊区边界的单位矢量， 和 分别为波矢平行于和垂直于边界的分量，则 -Kn Kn A B C D O k m n （3）与布里渊区边界相交处，等能面在垂直于布里渊区边界方向上梯度为零。 B点能带的梯度 -Kn Kn A B C D O k m n 由于E(k)是Kn的周期函数，有 同理可证明 利用能带的反演对称性 可证明 由下式 （1）与布里渊区边界相交处，等能面在垂直于布里渊区边界方向上梯度为零，即与界面垂直相交。 （2）费米面是一等能面，在布里渊区边界上与界面垂直截交。 结论： 二维等能曲线 5、近自由电子等能面（第一布里渊区） 电子的能量与自由电子的能量接近 可以认为：从原点向外，等能面基本上保持为球面。 （1）k的模较小时（能带底部） 等能面与界面垂直相交，等能面向外界凸出。 周期场微扰使能量下降，达到同样的E需更大的k，或同样的k，E(k)减小。 （2）等能面与布里渊区边界相交处 二维等能曲线 当E超过边界A点的能量EA，一直到E接近于顶角C点的能量EC（第一能带顶）时，等能面不再是完整的闭合面，而成为分割在各顶角附近的曲面。 6、紧束缚近似下等能面（第一布里渊区） Es(k)=E0?2J1(coskxa+coskya+ coskZa) 简立方晶格s带的能量 II. 随E增大，与近自由电子情况相比，等能面与球面的偏离就更明显。 Es(k)=E0?2J1(coskxa+coskya+ coskZa) （1）总体特点 I. k = 0能带底附近，Es(k)=E0?6J1+ 3J1a2(kx2+ky2+ kz2) 等能面为球面 cosx=1-x2/2! （2）简立方晶格的s带kz = 0截面的等能面 简立方晶格的s带kz = 0截面的等能面 -?/a ?/a -?/a ?/a Es(k)=E0?2J1(coskxa+coskya+1)= E0?2J1 例如：1等能曲线的能量 1 coskxa+coskya= 0 Es(k)=E0?2J1(coskxa+coskya+1) 能量表达式 （3）简立方晶格s带等能面举例 a. E = E0?2J1等能面 b. E = E0等能面 Es(k)=E0?2J1(coskxa+coskya+ coskZa) 简立方晶格s带的能量 波矢k落在布里渊区边界上的电子，其垂直于界面的速度分量必定为零。 这一结论是布喇格反射的必然结果。该方向入射波与反射波干涉形成驻波。 若电子的速度不为零，则它的速度方向必定与布里渊区界面平行。 7、布里渊区边界电子速度垂直分量为零 二、能态密度 定义：单位能量间隔两等能面间所包含的量子态数目。 晶体体积为Vc，波矢空间单位体积内波矢数目为Vc/8?3；考虑自