高数4 ppt.pptVIP

* 1.单调收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限 . 单调增加有上界的数列必有极限 . 一、数列极限收敛准则 通常说成：单调有界的数列必有极限. 证 由中学的牛顿二项式展开公式 例1 类似地, 有 又 等比数列求和 放大不等式 每个括号小于 1 . 综上所述, 数列{xn}是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它纪为 e, 即 e 称为欧拉常数. 2.数列极限的夹逼定理 设数列 { xn}, { yn}, { zn} 满足下列关系: (2) 则 (1) yn ? xn ? zn , n ? Z+ (或从某一项开始) ; 想想：如何证明夹逼定理? 解 由于 例2 想得通吧？ 解 例3 夹逼定理 例4 解 第二讲 函数极限 一、函数极限 二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则 四、两个重要极限 五、无穷小量与无穷大量 函数极限问题是研究当自变量 一、函数的极限 趋向于 的变化趋势 或趋向于无穷大时，函数 （ 两种基本变化趋势） ? 趋向于一点 (一)自变量的变化 ? 趋向于无穷 定义1： （二）函数极限的定义 1. 函数在一点的极限 [注意] 考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。 [例1] [例2] 定义2： （左、右极限） 一点极限与单侧极限有什麽关系？ [例] 观察图形 问题： 2. 函数在无穷远的极限 定义3： 类似的可定义 或 例如 定义4： 3. 函数极限的精确定义 二、函数极限的性质 性质2:（有界性） 函数极限如果存在，则函数一定有界. 性质1:（唯一性） 函数极限如果存在，则一定是唯一的. 性质3:（保号性） 性质4 （一）四则运算定理 注： 表示 的任一种趋向. 三、极限的运算法则 （二）复合函数的极限定理 [注意] 例如： （三）夹逼定理: （四）初等函数的极限 四、两个重要极限 1. 2. * *