《高等数学》总纲.docVIP

《高等数学》 《高等数学》的框架 整个《高等数学》,可以用两个字来概括:极限.极限把《高等数学》的主要内容串联起来,构成了《高等数学》的框架. 首先,我们看第一章《函数与极限》.第二个概念就是极限,而这一章另一个重要概念——连续,就要用到极限:设函数在点的某一邻域内有定义,如果,那么就称函数在连续. 紧接着,我们看第二章《导数与微分》,导数的定义又用到了极限:设函数在的某一邻域内有定义,若与之比当时极限存在,则称在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即. 再来看第五章《定积分》和第九章《重积分》.定积分和重积分的定义都用到了极限.简言之,函数在区间上的定积分,而函数在闭区域上的二重积分. 最后,我们来看一下第十一章《无穷级数》.关于无穷级数的一个重要概念是收敛,我们再次用到了极限:如果级数的部分和数列有极限,即,则称无穷级数收敛. 其它的章节,除第七章《空间解析几何和向量代数》外,都跟上述五章有直接的联系,从而也跟极限有关联. 极限既然这么重要,我们自然要掌握极限的概念和计算极限的方法.极限的概念有两个,即数列极限的语言和函数极限的语言.教材中计算极限的方法有:定义法、极限的四则运算法则、极限存在准则（单调有界必有极限）以及夹逼准则、两个重要极限、利用等价无穷小、利用函数在所求的极限点处连续、利用导数的定义、洛必达法则、泰勒公式、将和的极限化为定积分等. 部分章节的脉络 上面是对《高等数学》整体的把握,具体到某一章,如何来掌握呢?下面以第二章《导数与微分》和第四章《不定积分》为例来说明. 第二章的根本目的是求一个初等函数的导数,那么怎样来达到这个目的呢?注意到初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数,因此第二章的脉络必然是首先给出基本初等函数的导数,然后给出求导 的四则运算法则,最后是复合函数的求导法则.掌握了这三点,初等函数的求导必将易如反掌. 第四章是求不定积分.因为并不是所有的初等函数都是可积的(若函数的原函数是初等函数,则称在不定积分意义下可积).因此,这一章比第二章要难.然而要学好这一章,我们仍然是有脉络可寻的.首先,是记住基本积分表.其次,碰到被积函数带有根号,要想到用换元法; 碰到被积函数是两个函数乘积,马上要想到用分部积分法,然后考虑优先级:(1)指数函数(),(2)三角函数,(3)幂函数,(4)其它.此外，为了做题的快速起见,还须掌握由和所构成的几个式子:, 的不定积分.