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贝塞尔函数的应用 一、函数贝塞尔固有函数展开 按照斯图姆—刘维尔固有值理论，贝塞尔方程固有 值问题的固有函数系 J (x) , (i 1,2,3,)   i  组成区间[0,a] 上的完备的正交函数系. 任何一个在区间[0,a]上连续且只有有限个极大值 和极小值的函数f (x) , 则可按固有函数J (x)  i 展开为如下形式的广义傅立叶级数(傅里叶-贝塞尔级数)  f (x) f J (x) n  n n 1 1 a 其中系数 为f f f (x)J ( x)xdx n n 2 0  n J ( x)  n 该级数在区间[,a](  0)上一致收敛 第四章-贝塞尔函数的应用 2 例1: 在第一类齐次边界条件下，将函数 2 f (x) x ,0 x  1 展开成零阶贝塞尔函数J ( x) 的傅里叶—贝塞尔级数。 0 n 解：设 ,n 1,2,3,为J (x) 0的正根， n 0  x2 f J ( x), 0 x 1, n 0 n n 1 而系数 为f 1 1 2 n f x J ( x)xdx. n 2 0 0 n J ( x) 0 n 在第一类齐次边界条件下，J ( ) 0, 0 n 2 1 2 所以 J ( x) J ( ). 0 n 1 n 2 第四章-贝塞尔函数的应用 3  d  1 1 2 x J (x) (x J (x)) f