谈求解综合题函数定义域的方法.docVIP

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谈求解综合题函数定义域的方法

谈求解综合题函数定义域的方法 华育中学 黄喆 这是2001年上海中考的压轴题: 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,ADBC,且AD=5,AB=DC=2。 (1)如图所示,P为AD上一点,满足∠BPC=∠A; ① 求证:△ABP∽△DPC;② 求AP长; (2)如P在AD上移动(与A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线BC于点E,同时交直线DC于Q,则 ① 当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式及函数定义域; ② 当CE=1时,写出AP的长。(不必写出解题过程) 解: (1)① ∠A=∠BPC=∠D ∵∠ABP+∠A=∠BPC+∠DPC ∴∠ABP=∠DPC ∴△ABP∽△DPC ② 设AP=x,DP=5-x,由△ABP∽△DPC,得,,x=1.or.4 (2)① 易证 △ABP∽△DPQ ∴,,得 解题至此,相当一部分同学还是比较顺利的,然而这定义域一分可就不好拿了,很多同学认为定义域是(0x5),我想这些同学注意到了: Ⅰ)x是线段的长必须非负; Ⅱ)P在AD上移动,所以x不能比5大; Ⅲ)与A、D不重合,所以不能取等号。 然而题目中还有什么关于x的信息吗?对!在第二题第一小题,起始就有这么一段话:当点Q在线段DC的延长线上时,这句话看上去不起眼,但对于解题却至关重要,它向我们提出了这样一个问题:是不是只要在0x5的范围内,点Q就一定在线段DC的延长线上吗?显然稍做试验便知不可能!(如右图) 那么什么时候点Q会在线段DC的延长线上?那就要从边界位置入手考虑,即什么时候点Q与点C重合,而第一题的结论其实已经告诉我们了答案:x=1.or.4。稍做观察便可知正确的定义域是(1x4)。(最后一题答案:AP=2.or.) 从这道题的解题过程可知求解综合题函数定义域的关键在于:把握题目细节、从边界位置入手。对此我们再举一例: 例(04黄浦初三模拟):已知△ABC≌△A’B’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°,AB=5,AC=3,对应边AC与A’C’重合,如图(1),若将△A’B’C’沿CB边按箭头所示方向平移,如图(2),使边AB、A’B’相交于点D,边A’C’、AB相交于点F,以CC’为直径在五边形DEC’CF内作半圆O,设BC’的长为x,半圆O的面积为y,求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。 解:可知BC=4 ∵BC’=x ∴CC’=4-x ∴ 然而定义域呢?很多同学没有多想就写(0x4),这个结果对不对?题目中又有什么细节我们没有注意到呢?原题有一句“以CC’为直径在五边形DEC’CF内作半圆O”,那有没有可能半圆不在五边形内?如有图所示,这种情况是完全可能的。 然而x在什么范围内以CC’为直径的半圆O一定在五边形DEC’CF内呢?研究这个问题就必须从边界入手,可知半圆O与五边形DEC’CF的位置大致有三种:1)半圆O在五边形DEC’CF内(没有交点);2)半圆O与五边形DEC’CF相切;3)半圆O与五边形DEC’CF相交。所以显然要研究什么时候在五边形DEC’CF内,就要从半圆O与五边形DEC’CF相切的位置入手。 解:设半圆O与线段AB切于G点,连结OG,可知OG⊥AB ∴,得x=1,所以可得定义域是(1≤x4) 2004-7-8

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